Свойства непрерывных функций

Функция f(x) непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке С (т.е. а< с<b)

и , .

Примеры: а) f(x)=х² непрерывна на любом отрезке. б) f(x)= непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку х=0. Но разрывна на , если а< 0 < b.

Теорема 1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах разные по знаку значения (т.е. f(a)<0; f(b)˃0 или f(a)˃0; f(b)<0). Тогда на отрезке найдется такая точка С, что f(c)=0.

Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и f(a)=A, f(b)=B. Пусть, например, А<В. Тогда на отрезке функция f(x) принимает и все промежуточные значения между А и В, т.е. для любого числа Т€ найдется t€ , такое, что f(t)=T.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.

Примеры: а) f(x)=x², = , max в точке х=3, minв точке х=0.

б) f(x)= = . На этом отрезке функция разрывна, поэтому max не достигается, а min в точке х=1

7. Содержание

   • Функции и способы их задания. Элементарные функции
   • Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
   • Определение предела функции. Примеры.
   • Основные свойства пределов. Замечательные пределы.
   • Непрерывность функции. Точки разрыва 1 и 2 рода.
   • Свойства непрерывных функций
   • Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.
   • Дифференциал функции. Основные правила дифференцирования.
   • 9) Основные правила дифференциального исчисления.
   • 10 ) Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена.
   • 11) Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.
   • 12) Функции нескольких переменных. Частные производные.
   • 13) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
   • 14) Неопределенный интеграл и его основные свойства.
   • 15) Замена переменных и интегрирование по частям для неопределенного интеграла.
   • 16) Интегрирование рациональных функций.
   • 17) (Подписать к графику!!) Интегральная сумма и определенный интеграл.
   • 18) Основные свойства определенных интегралов. Методы интегрирования.
   • 19) Геометрические приложения определенного интеграла.
   • 1) Вычисление площади плоских фигур
   • 2) Вычисление объема
   • 20) Приближенное вычисление определенного интеграла. Методы интегрирования.
   • 1) Формула прямоугольников
   • 2) Формула трапеции
   • 21) Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
   • 22) Задача Коши и теорема Коши.
   • 23) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
   • 24) Решение дифференциальных уравнений методом подстановки (метод Бернулли)
   • Первый способ
   • Второй способ
   • 25) Решение дифференциальных уравнений методом вариации постоянной (метод Лангранжа) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)