14. Теореми, способи доведення теорем. Методика навчання учнів доведенню математичних тверджень.

Вивчення теорем і їх доведень в систематичних курсах геометрії і алгебри починається із 7 класу і посідає значне місце навчальному матеріалі.

Теореми і їх доведення розвивають логіку мислення учнів просторові уявлення та уяву, вчать методам доведення, сприяють усвідомленню ідеї аксіоматичної побудови математики.

Залежно від логічної структури теореми, як і будь-якого висловлення, розрізняють чотири їх види: прямі, обернені, протилежні, контрапозитивні (іншими словами, протилежні оберненим, або обер­нені протилежним щодо прямої теореми).

У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з такими основними методами доведень: синтетичним, аналітичні аналітико-синтетичним (його інколи називають методом руху з двох кінців), методом доведення від супротивного, повної індукції, математичної індукції, методами геометричних перетворень (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне пері несення, гомотетія і подібність), алгебраїчним методом, окремим випадками якого є векторний і координатний. У сучасному шкільному курсі застосовано також методи математичного аналізу: метод границь, методи диференціального та інтегрального числення.

Розглянемо основні методи доведень математичних тверджень. Аналітичний метод. Приклад. Довести нерівність Міркуватимемо так. 1. Припустимо, що дана нерівність – правильна. 2. Виведемо з неї наслідки, а саме: помножимо обидві частини на а²>0 (а² 0 за умовою). Дістанемо 3. Перенесемо 2а² в ліву частину останньої нерівності. Дістанемо а⁴-2а²+1 0. 4. Запишемо ліву частину одержаної нерівності у вигляді квадрата двочлена: (а²-1)² 0. Остання нерівність правильна за будь-якого а. Синтетичний метод. Доведення нерівності синтаксичним методом виглядатиме так. Доведення. 1. Нехай а 0. Відомо, що

(а²-1)² 0. 2. Запишемо ліву частину цієї нерівності у вигляді тричлена а⁴-2а²+1 0. 3. Розділимо обидві частини останньої нерівності на а² 0. Дістанемо . 4. Перенесемо число -2 у праву частину нерівності. Дістанемо , що й треба було довести. Недоліком синтетичного методу доведення в розглянутому прикладі є неможливість здогадатися, що треба починати саме з нерівності (а²-1)² 0. Аналітико-синтетичний метод. Цей метод полягає в тому, що пошук доведення починають аналітичним методом, але міркування не доводять до кінця, а, спиняючись на певному кроці, починають міркувати у зворотному напрямку, тобто з розгортання умови. Метод доведення від супротивного. Задача. Довести, що коли пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу пряму. Доведення. 1. Припустимо, що с і в не перетинаються, тобто що с//в. 2. Тоді дістанемо, що через точку О перетину прямих а і с проходять дві різних прямі а і с, які паралельні прямій в. Але це суперечить аксіомі про властивість паралельних прямих. 3. Висновок: припущення неправильне, а правильне те, що пряма с перетне пряму в. Метод математичної індукції. Складається з трьох кроків: 1. Перевірити правильність твердження для n=1 або n= n_o. 2. Припустити, що твердження правильне при n=k, де k n_o, і довести, користуючись цим припущенням, що твердження правильне при n=k+1, тобто для наступного значення n. 3. Зробити висновок, що на підставі принципу математичної індукції твердження правильне для будь-якого натурального n, де n n_o . Векторний метод. Векторний метод доведення геометричних тверджень полягає в тому, що їхні умови і вимоги перекладають на мову векторів. Навчання готових доведень. Уміння доводити математичні твердження складається з чотирьох основних компонентів: 1. дія підведення об’єкта під поняття; 2. володіння необхідними і достатніми ознаками понять, про які йдеться у висновку; 3. дія вибору ознак понять, які відповідають даним умовам; 4. дія розгортання умов. Під час вивчення готових складніших доведень (наприклад, ознак рівності трикутників) варто запропонувати учням для першої ознаки готову таблицю, в якій у лівому стовпчику записано всі твердження, з яких складається доведення, у правому – відповідні обґрунтування. Під час вивчення готових доведень теорем учні мають усвідомлювати істотні елементи доведення, відволікатися від неістотних (розташування малюнка, позначення буквами). Для створення психологічних передумов успішного засвоєння готових доведень важливо не допускати пропусків проміжних ланцюгів доведення. Психологи обґрунтовують це тим, що міркування, пов’язані з поновленням пропущених ланцюжків доведення, відволікають учнів від основної лінії доведення. Відомі педагоги-математики середньої і вищої школи на своїх уроках і лекціях завжди прагнули роз’яснювати учням навіть дрібниці, щоб усунути будь-яку неясність, щоб зосередити увагу на головному. Перш ніж продовжити докладне доведення, треба спочатку назвати основні його етапи і твердження, на яких ґрунтуватиметься доведення. Це дає можливість звернути увагу учнів на структуру доведення в цілому, виділити основному йому ідею, назвати метод доведення.