§ 9.11. Задачи и упражнения
79
В этом случае пишут
]
−
v.p.
→+0[ ∫
∫ −
∫
lim
( ) +
( ) :=
( ) .
Здесь v.p. – сокращение от французского valeur principal.
Например, интеграл
1
1
∫−1
как несобственный расходится, а как интеграл в смысле главного значения он сходится и равен нулю.
Интеграл в смысле главного значения вводят и для случая, когда интегрирование вед¨ется по всей оси (−∞, +∞): по определению полагают
v.p. | +∞ | →+∞ |
|
∫−∞ | ∫− | ||
| ( ) := | lim | ( ) , |
если этот предел существует.
Наконец, функция ( ) может иметь на промежутке [ , ] конечное число особенностей, которые могут быть в концевых точках и и в некоторых внутренних точках из ( , ).
Тогда ( , ) разбивают на конечное число таких промежутков, что функция ( ) имеет на каждом из них единственную особенность в каком-либо из концов промежутка. Если сходятся несобственные интегралы по каждому из этих промежутков, то говорят, что сходится несобственный интеграл по промежутку [ , ]. В противном случае интеграл по промежутку [ , ] называют расходящимся. Если несобственный интеграл
∫
( )
сходится, то в качестве его значения берут сумму всех интегралов по построенным промежуткам.
§9.11. Задачи и упражнения
9.11.1.Докажите, что если функция ( ) непрерывна на [−1, 1]
идля каждой непрерывной на [−1, 1] ч¨етной функции ( )
∫ 1
( ) ( ) = 0,
−1
- § 8.2. Методы интегрирования
- § 9.1. Определение интеграла Римана
- § 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов
- § 9.7. Теоремы о среднем
- § 9.9. Приближённое вычисление интегралов
- § 9.11. Задачи и упражнения
- Глава 10. Интеграл Римана–Стилтьеса
- § 10.1. Функции ограниченной вариации
- § 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса
- § 10.4. Задачи и упражнения
- § 11.3. Пределы функций многих переменных
- § 11.4. Непрерывные функции многих переменных
- § 11.5. Задачи и упражнения
- § 12.6. Формула Тейлора
- Глава 14. Экстремумы функций многих переменных
- § 14.1. Локальные экстремумы
- § 14.2. Условный локальный экстремум
- § 14.3. Метод неопределённых множителей Лагранжа