lektsii_Telyaka_starshego

§ 14.3. Метод неопределённых множителей Лагранжа

187

Таким образом, установленное выше необходимое условие относительного экстремума состоит в том, что градиент grad (x0) можно представить в виде линейной комбинации градиентов grad 1(x0), . . . , grad (x0).

При исследовании условных экстремумов часто бывает удобен следующий при¨ем, восходящий к Лагранжу.

Будем пользоваться обозначениями из § 14.2 – требуется найти экстремум функции ( 1, . . . , ) при наличии связей (14.2.1), для которых выполнено условие (14.2.3).

Возьм¨ем произвольных пока чисел 1, . . . , и составим с их помощью функцию Лагранжа


( 1, . . . , ; 1, . . . , ) := ( 1, . . . , ) −	∑	, . . . , ).
( 1, . . . , ; 1, . . . , ) := ( 1, . . . , ) −	( 1	, . . . , ).
	=1

(14.3.1) Числа 1, . . . , называют неопредел¨енными множителями Лагранжа.

Рассмотрим задачу на безусловный экстремум функции как функции переменных 1, . . . , и проследим, что это да¨ет для задачи на условный экстремум для функции .

Согласно теореме 14.1.1 для существования безусловного экстремума функции в точке x0 необходимо, чтобы в этой точке выполнялись равенств

∂	(x0) = 0, . . . ,	∂	(x0) = 0.	(14.3.2)

∂ 1		∂

Равенства (14.3.2) вместе с(14.2.1) представляют собой систему + уравнений, с помощью которых нужно определить зна-

чения + неизвестных величин: 0	, . . . , 0	и 0	, . . . , 0 .
1		1

Заметим, что если искать экстремум функции как функции + переменных 1, . . . , , 1, . . . , , то наряду с (14.3.2) получим

∂	= 0, . . . ,	∂	= 0,

∂ 1		∂

т.е. уравнения связей (14.2.1).

Содержание