§ 11.3. Пределы функций многих переменных

119

Получено противоречие, поскольку кубики выбирались так, что содержащиеся в них порции компакта нельзя покрыть конечным набором множеств семейства { }.

Теорема доказана.

Теорему 11.2.6 кратко формулируют так: из каждого покрытия компакта открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие и называют е¨ теоремой о конечном покрытии.

§ 11.3. Пределы функций многих переменных

Будем рассматривать функции, заданные на множествах - мерного евклидова пространства E и принимающие числовые значения, т.е. функции вида

(x): → R,

где E . Для обозначения функций, а также их значений будем использовать как равноправные записи (x) и ( 1, . . . , ) и называть такие функции функциями переменных 1, . . . , .

Определим предел функции по множеству. Это определение является новым и для функций одной переменной.

Определение. Пусть x0 – предельная точка множества

E . Число называют пределом функции (x) в точке x0 по множеству , если:

1 ) функция определена во всех точках множества , принадлежащих некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0;

2 ) для каждого положительного числа существует число( ) > 0 такое, что для точек x , удовлетворяющих условию 0 < (x, x0) < , справедлива оценка

| (x) − | < .

В этом случае пишут

x→x0, x

Условие 1 можно переформулировать так: функция определена во всех точках множества , принадлежащих некоторой проколотой окрестности точки x0. Как и ранее, проколотая окрестность – это окрестность точки без самой этой точки.