§ 11.4. Непрерывные функции многих переменных

127

§ 11.4. Непрерывные функции многих переменных

Определение. Пусть точка x0 E . Говорят, что функция (x) непрерывна в точке x0 по множеству , если определена во всех точках множества из некоторой окрестности точки x0 и для каждого > 0 существует ( ) > 0 такое, что для всех x из -окрестности точки x0, справедливо неравенство

| (x) − (x0)| < .

Это – определение “на языке − ”. На “языке последовательностей” при тех же предположениях об области определения функции соответствующее условие формулируется так: для любой сходящейся к точке x0 последовательности точек {x( )}, принадлежащих множеству , имеет место равенство

lim (x( )) = (x0).

→∞

Если x0 – изолированная точка множества , т.е. в некоторой окрестности x0 нет других точек из , то каждая функция, которая определена в точке x0, непрерывна в этой точке по множеству .

Если точка x0 не является изолированной точкой множества , то она – предельная точка . В этом случае непрерывность функции в точке x0 можно определить с помощью предела: функция непрерывна в точке x0 по множеству , если

lim (x) = (x0).

x→x0, x

В предельных точках множества многие свойства функций, непрерывных по , вытекают из свойств пределов.

Например, если функция непрерывна в точке x0 по множеству, то в точках множества , принадлежащих достаточно малой окрестности точки x0 она ограничена. Если функция непрерывна в точке x0 по множеству и (x0) ̸= 0, то сохраняет знак в точках из некоторой окрестности точки x0. На этот случай переносятся также теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, и теорема о непрерывности модуля непрерывной функции.