§ 9.11. Задачи и упражнения

79

В этом случае пишут

]

−

v.p.

→+0[ ∫

∫ −

∫

lim

( ) +

( ) :=

( ) .

Здесь v.p. – сокращение от французского valeur principal.

Например, интеграл

1

1

∫−1

как несобственный расходится, а как интеграл в смысле главного значения он сходится и равен нулю.

Интеграл в смысле главного значения вводят и для случая, когда интегрирование вед¨ется по всей оси (−∞, +∞): по определению полагают

если этот предел существует.

Наконец, функция ( ) может иметь на промежутке [ , ] конечное число особенностей, которые могут быть в концевых точках и и в некоторых внутренних точках из ( , ).

Тогда ( , ) разбивают на конечное число таких промежутков, что функция ( ) имеет на каждом из них единственную особенность в каком-либо из концов промежутка. Если сходятся несобственные интегралы по каждому из этих промежутков, то говорят, что сходится несобственный интеграл по промежутку [ , ]. В противном случае интеграл по промежутку [ , ] называют расходящимся. Если несобственный интеграл

∫

( )

сходится, то в качестве его значения берут сумму всех интегралов по построенным промежуткам.

§9.11. Задачи и упражнения

9.11.1.Докажите, что если функция ( ) непрерывна на [−1, 1]

идля каждой непрерывной на [−1, 1] ч¨етной функции ( )

∫ 1

( ) ( ) = 0,

−1