§ 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов

45

Множитель 3 в этом неравенстве не играет существенной роли, поэтому необходимость условий теоремы доказана.

Достаточность легко получить, построив для функций ( ) и( ) ступенчатые функции ( ) и ( ) такие, что

( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 ( )

и

∫

( ( ) − ( )) < .

Детали этого рассуждения приводить не будем.

Заметим, что функции ( ) и ( ) в теореме 9.5.2 можно считать имеющими любое число производных или даже бесконечно дифференцируемыми. Для этого в качестве фрагментов графиков функций ( ) и ( ) в окрестностях точек ( , ( )) нужно брать достаточно гладкие кривые, а не наклонные отрезки, как было в приведенном доказательстве.

§ 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов

Если функция интегрируема на отрезке [ , ], то согласно теореме 9.3.1 об аддитивности интеграла относительно промежутка интегрирования интегрируема на любом отрезке [ , ] при6 . Значит, на [ , ] можно определить интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

∫

( ) := ( ) .

Будем изучать свойства функции ( ).

Теорема 9.6.1. Если на отрезке [ , ] функция ( ) интегрируема и | ( )| 6 , то для функции ( ) при всех ′, ′′ [ , ]

справедлива оценка

т.е. ( ) удовлетворяет условию Липшица первого порядка с константой . В частности, функция ( ) непрерывна на [ , ].