§ 10.1. Функции ограниченной вариации

Пусть функция ( ) задана на отрезке [ , ]. Для произвольного разбиения этого отрезка

= 0 < 1 < · · · < =

составим сумму

=1

Определение. Функция ( ) называется функцией ограниченной вариации (функцией с ограниченным изменением) на отрезке [ , ], если суммы ограничены некоторым числом, не зависящим от разбиения .

Для функции ограниченной вариации точную верхнюю грань значений сумм , взятую по всем разбиениям , называют вариацией (полным изменением) на отрезке [ , ] и обозначают

( , [ , ]).

Множество функций, имеющих ограниченную вариацию на отрезке [ , ], обозначают [ , ].

Когда ясно, какой отрезок имеется в виду, вместо ( , [ , ]) и [ , ] пишут ( ) и .

Монотонные на отрезке [ , ] функции имеют ограниченную вариацию, поскольку у таких функций разности ( −1) − ( ),= 1, . . . , , не могут принимать значения разных знаков и

=1

Поэтому ( ) = | ( ) − ( )|.

Если функция удовлетворяет на отрезке [ , ] условию Лип-