§ 10.4. Задачи и упражнения

101

а при → 0 в силу непрерывности ( ) в точке предел выражения в правой части этого равенства равен ( ) − ( ).

Если – точка устранимого разрыва функции , то вводим функцию

{

( ) := 1 при = ,

0при ̸=

ипроводим аналогичные рассуждения с функцией ( ) вместо( ). Тогда в тех же обозначениях имеем

( , ) = ( )( ( ) − ( −1)),

а это выражение стремится к нулю при → 0.

Итак, теорема доказана, если ( ) имеет одну точку разрыва. В общем случае теорема вытекает из линейности интеграла Римана–Стилтьеса и того, что функцию ( ) можно сделать непрерывной на [ , ], прибавив к ней линейную комбинацию функций ( + ) и ( + ) при соответствующих сдвигах аргумента

и .

§10.4. Задачи и упражнения

10.4.1.Докажите, что если на отрезке функция ( ) имеет ограниченную вариацию и | ( )| > > 0, то функция 1/ ( ) также имеет ограниченную вариацию.

10.4.2.Является ли ограниченность функции ( ) необходимым условием существования интеграла Римана–Стилтьеса

∫

( ) ( )?

10.4.3.Докажите, что интеграл Римана–Стилтьеса от непрерывной функции по непрерывной функции может не существовать.

10.4.4.Пусть функция ( ) непрерывна на отрезке [ , ] и существует интеграл Римана–Стилтьеса

∫

( ) ( ). (10.4.1)