lektsii_Telyaka_starshego

§ 8.2. Методы интегрирования

Основными при¨емами, используемыми при интегрировании элементарных функций, являются интегрирование по частям и интегрирование с помощью замены переменной (интегрирование подстановкой).

Заметим, что взятие неопредел¨енных интегралов элементарных функций является трудной часто неразрешимой задачей. Здесь требуются опыт и изобретательность.

Теорема 8.2.1 (Интегрирование по частям). Пусть на некотором промежутке функции ( ) и ( ) имеют производные и существует интеграл ∫ ′ . Тогда на этом промежутке существует интеграл ∫ ′ и справедливо равенство, которое называют формулой интегрирования по частям,

∫

′ = − ∫

′ + ,

(8.2.1)

где – некоторая постоянная.

Доказательство. Найд¨ем производную функции из правой части (8.2.1):


( −∫	′ + )′		= ( )′ −(∫			′ )′		= ′ + ′ − ′ = ′.
Таким образом, функция −							′ + является перво-
образной функции		′		. Значит,	неопредел¨енный интеграл					′
							∫		некоторую по-
существует и отличается от этой первообразной на										∫

стоянную, т.е. справедливо равенство (8.2.1). Теорема доказана.

Формулу интегрирования по частям записывают также следу-


ющим образом:		= − ∫
понимая ∫	∫			+ ,		(8.2.2)
	как интеграл ∫		′ и ∫		как ∫	′ .

Теорема 8.2.2 (Замена переменной). Пусть функция ( ) на некотором промежутке имеет первообразную

∫

( ) = ( ) + . (8.2.3)

Содержание