§ 9.1. Определение интеграла Римана

Говорят, что точки 0, 1, . . . , образуют разбиение отрезка [ , ], если

= 0 < 1 < · · · < = ,

т.е. 0, 1, . . . , – строго возрастающая последовательность точек и концы отрезка принадлежат этой последовательности. Разбиения отрезка будем обозначать .

Таким образом, отрезок [ , ] раздел¨ен точками 0, 1, . . . , на отрезков [ −1, ], = 1, 2, . . . , . Длину отрезка [ −1, ] обозначим := − −1. Наибольшую из длин отрезков, полученных при разбиении , т.е. число

:= max ,

=1,...,

называют диаметром разбиения .

Напомним, что разбиения промежутков использовались в S 7.2. Пусть на отрезке [ , ] задана функция ( ) и – некоторое разбиение [ , ]. В каждом отрезке [ −1, ] разбиения возьм¨ем

произвольно точку и составим сумму

∑

( ) . (9.1.1)

=1

Сумму (9.1.1) называют интегральной суммой Римана функции , соответствующей разбиению и выбору точек { }, и обозначают ( , ) или ( ).

Определение. Функцию , заданную на отрезке [ , ], называют интегрируемой по Риману на этом отрезке, если существует число такое, что для каждого > 0 имеется число ( ) > 0, при котором для любого разбиения отрезка [ , ] диаметра, меньшего , и произвольном выборе точек [ −1, ], = 1, 2, . . . , , справедлива оценка