Лекция 14. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение  этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочному среднему . Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью .

Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину (т.к. меняется от выборки к выборке) и выборочные значения - как одинаково распределенные независимые случайные величины (эти числа также меняются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно и среднее квадратическое отклонение - . Так как случайная величина X распределена нормально, то и выборочное среднее также распределено нормально. Параметры распределения равны

.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

,

где - заданная надежность. Используем формулу

.

Заменим X на и  на и получим

где . Выразив из последнего равенства , получим

Так как вероятность P задана и равна , окончательно имеем

.

Таким образом, с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a, причем точность оценки равна .

Число определяется из равенства ; по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Отметим два момента: 1) при возрастании объема выборки n число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается, 2) увеличение надежности оценки приводит к увеличению (так как функция Лапласа возрастающая функция) и, следовательно, к возрастанию , то есть увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

,

следующей из равенства .