О тклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине от математического ожидания меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность того, что выполняется неравенство .

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

.

Воспользуемся формулой:

Получим:

Если в качестве взять утроенное значение среднего квадратического отклонения , то получим:

,

Таким образом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит (утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала 0,0027 или 0,27%). Такие события можно считать практически невозможными.

Другими словами, если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения. В этом и состоит сущность правила «трех сигм».

На практике правило «трех сигм» применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но правило «трех сигм» выполняется, то есть основания полагать, что изучаемая величина распределена нормально, и наоборот.

Пример 1. Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним 100 у.е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от 91 до 109 у.е.

Решение. Так как , то

Пример 2.

Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными 48 и 2 соответственно.

Определить процент спроса на 50-й размер, при условии разброса значений этой величины в интервале (49,51).

Решение

По условию, a=48,  = 2,  = 49,  =51. Используя формулу

получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна

Вывод: спрос на 50-й размер составит примерно 24% и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.