Дисперсия случайной величины и ее свойства.

На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вложение денег в одну из них может быть гораздо более рискованной операцией, чем в другую. Поэтому возникает необходимость в числовой характеристике, оценивающей разброс возможных значений случайной величины относительно ее среднего значения (математического ожидания). Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

.

Легко показать, что вышеприведенное выражение может быть записано в виде

Действительно, используя основные теоремы о математическом ожидании, получим

В случае дискретной случайной величины, имеющей закон распределения

.

Для непрерывной случайной величины формула для расчета дисперсии имеет вид

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

.

3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если – постоянная величина, то .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

Пример 1. Пусть закон распределения дискретной случайной величины имеет вид

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение: Рассчитаем вначале математическое ожидание

Дисперсия равна

Пример 2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины равна

, где

Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение: Найдем математическое ожидание:

Далее,

Найдем дисперсию, используя формулу

.