Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение  этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину

,

которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. В последнем выражении - - выборочное среднее, - исправленное среднее квадратическое отклонение, - объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t. Плотность распределения Стьюдента имеет вид

,

где некоторая постоянная, выражающаяся через гамма – функции.

Несколько слов о распределении Стьюдента. Пусть - независимые стандартные нормальные величины. Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента (В. Госсет) с степенями свободы. При росте числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению и уже при использование нормального распределения дает хорошие результаты.

Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы ) и не зависит от неизвестных параметров . Поскольку - четная функция от t , то вероятность выполнения неравенства

определяется следующим образом:

.

Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала

Итак, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр a с надежностью . По таблице распределения Стьюдента и заданным n и можно найти и используя найденные по выборке и , , можно определить доверительный интервал.

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 16 найдены генеральное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение . Требуется оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Решение. Найдем по таблице распределения Стьюдента, используя значения . Этот параметр оказывается равным 2,13. Найдем границы доверительного интервала:

То есть с надежностью 0,95 неизвестный параметр a заключен в доверительном интервале

Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.