§7. Векторное произведение векторов.

7.1. Правые и левые тройки векторов.

Три произвольных вектора , рассматриваемые в определенном порядке, называютсяупорядоченной тройкой. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов считаетсяправой, если эти векторы расположены так же, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если они располагаются, как те же пальцы левой руки, то тройка называется левой.

7.2. Определение и свойства векторного произведения.

Опр. Векторным произведением вектора на векторназывается такой третий вектор, который

1. имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторахи:;

2. ортогонален каждому из векторов и;

3. направлен так, что тройка векторов - правая.

Обозначение векторного произведения: или.

Свойства векторного произведения.

1. (антикоммутативность),

2. (распределительный закон),

3. Если и, то, в частности,

4. Векторное произведение ортов: ,,.

Вообще произведение любых смежных векторов в последовательности дает следующий вектор со знаком «+», а в обратной последовательности – со знаком «-».

5. Для любого вещественного числа справедливы соотношения:

6. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей ,в декартовой прямоугольной системе координат.

=

7. Геометрический смысл модуля векторного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и:;

Площадь треугольника, построенного на векторах и, равна.

Пример 1. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах ,, если,,.

Решение. .

1)

2) .

Пример 2. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах ,

Решение.

1. Найдем вектор .

2. .