§5. Скалярное произведение векторов

Опр. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения

1. (очевидно из определения).

2. , то есть числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

∆

а) Правые части равны,

значит, равны и левые.

б) ,

И в этом случае правые части равны, значит, равны и левые. Свойство доказано.

3. (признак перпендикулярности векторов).

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

5. Скалярное произведение векторов и, заданных в ортонормированном базисе, выражается формулой:

∆ Пусть не нулевые и не коллинеарные векторы. Отложим их от одной точки пространства.

Применим к теорему косинусов:

,

Подставляя в равенство получим:

▲

Задача. Рассмотрите случай

6. При доказательстве используется свойство 5.

7.