9.2. Гипербола

1.Опр. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

2. Составим уравнение гиперболы.

В системе координат (7)

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим после упрощения:

(8)

Это каноническое уравнение гиперболы.

Итак, если точка принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (8). Можно показать и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (8), то точка принадлежит гиперболе.

3. Исследование формы гиперболы.

Из уравнения (8) видно, что гипербола симметрична относительно осей координат. Пользуясь симметрией, исследуем форму гиперболы в 1 четверти системы координат.

Из (8)

В полосе точек гиперболы нет. Далее с ростомвеличинанеограниченно растет. Приэтовершина гиперболы.

Пользуясь симметрией, можно достроить

гиперболу. Ось фокальная

(действительная) ось, мнимая ось, её

гипербола не пересекает.

Как ведет себя ветвь гиперболы при неограниченном возрастании

Рассмотрим прямую Убедимся, что уходя в бесконечность, точкана гиперболе неограниченно приближается к этой прямой, то естьтем более),

гипербола.

.

Если при удалении точки по кривой в бесконечность её расстояние от некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется

асимптотой кривой.

Учитывая симметрию, приходим к выводу, что гипербола имеет две асимптоты:

Построение гиперболы:

действительная полуось, мнимая полуось.

2. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Директрисы располагаются ближе к оси чем вершины гиперболы, а фокусы дальше.

Как и у эллипса, отношение расстояния от точки гиперболы до фокуса к её расстоянию до соответствующей директрисы равно

Значит, чем меньше , тем меньше отношениетем больше гипербола вытягивается вдоль действительной оси.

3. Равносторонняя и сопряженные гиперболы.

Если тоэто равносторонняя гипербола.

Гиперболы называютсясопряженными. Фокусы первой гиперболы лежат на оси мнимая ось для неёАсимптоты этих гипербол совпадают.

Задача. Составьте каноническое уравнение гиперболы, угол между асимптотами которой , и она проходит через точку

Сделайте чертёж.