§3. Линейная зависимость векторов

1. Коллинеарные векторы.

Теорема 3. Если векторы иколлинеарны, то существует единственное числотакое, что

, (1)

и наоборот.

∆ , тогда ; если, то

Обратное очевидно. ▲

3.2..Компланарные векторы

Опр. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Теорема 4. Если векторы компланарны и векторынеколлинеарны, то

∆ Отложим векторы от одной точки:

Проведем .(т.3)

(т.3). По правилу параллелограмма:

Допустим, что числа не единственные:вычитая, получим:

Если тоОтсюда следует, чтои

коллинеарны, что противоречит условию. Аналогично при ▲

3.3.Линейная зависимость

Возьмем конечную систему векторов ичисел

Опр. Вектор называетсялинейной комбинацией векторов

!Опр. Векторы называютсялинейно зависимыми, если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется условие:

(2)

Если равенство (2) выполняется только при нулевых коэффициентах, то векторы называютсялинейно независимыми.

Теорема 5. (необх. и дост. условие л\зав.) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

∆ л\к остальных.

Имеет место равенство (2). Пусть тогда

очевидно ▲

3.4. Свойства линейных систем векторов

1. Если подсистема линейно зависима, то и вся система векторов л\з..

2. Если система л\нз, то любая её подсистема л\нз.

3. Всякая система, содержащая 0-вектор, линейно зависима.

Теорема 6. Два вектора л\з тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 7. Три вектора л\з тогда и только тогда, когда они компланарны.