Часть 1. Преобразуем систему координат поворотом на угол вокруг начала.

Запишем формулы преобразования:

(12)

Подставим (12) в (11):

В новых переменных уравнение запишем так:

(11’)

где(13)

1/ Если то подберем уголтак, чтобы уравнение (11’) не содержало члена с произведениемто есть чтобы

Определитель равен ) тогда и только тогда, когда его строки пропорциональны:

(14’)

(14)

Система (14) однородных уравнений имеет нетривиальное решение, если её определитель равен 0:

(15)

Опр. Уравнение (15) называется характеристическим уравнением линии 2-го порядка.

Покажем, что его коэффициенты не зависят от выбора ортонормированного репера.

Из (13):

2.По предположению поэтому дискриминант уравнения (15):

Значит, характеристическое уравнение (15) всегда имеет действительные и различные корни иИз (14) следует:

(16)

По формулам Виета: и

Тогда

Любой из углов можно взять за угол поворота осей, при этом исчезает член с произведением

Найдем коэффициенты уравнения (11’) из системы (13), учитывая(14’).

Итак, для любой линии 2-го порядка, заданной в ортонормированном репере уравнением (11), существует ортонормированный репер в котором её уравнение имеет вид (17):

(17)

Пример. Приведите к каноническому виду уравнение:

∆ 1.Запишем характеристическое уравнение данной кривой и найдем его корни.

(15)

2. В новой системе координат уравнение имеет вид:

(17)- эллипс.

3. Запишем формулы преобразования координат.

(16)или

(12)

4. Чертеж.