Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.

Производной функции в точке х называется предел: f(x)= или y’= если такой предел существует.

Пример: f(x)=x. Тогда f(x + ∆x) = x +∆x. Поэтому f(x + ∆x) - f(x)= (x + ∆x)- х = ∆x и = = . Следовательно (x)’=1

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.

Геометрический смысл: f’(x)= tgα минус значение производной в точке х = тангенсу угла наклона к графику функции.

Физический смысл: Пусть переменная t обозначает время, а S= S(t) – путь, пройденный за время t. Тогда ∆S= S(t+∆t) – S(t) – путь, пройденный за промежуток времени (t,t+∆t). Отсюда следует, что средняя скорость движения в промежутке времени (t,t+∆t) равно . Отсюда следует, что физический смысл производной – это мгновенная скорость в момент t: V(t)=S(t).

8. Содержание

   • Функции и способы их задания. Элементарные функции
   • Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
   • Определение предела функции. Примеры.
   • Основные свойства пределов. Замечательные пределы.
   • Непрерывность функции. Точки разрыва 1 и 2 рода.
   • Свойства непрерывных функций
   • Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.
   • Дифференциал функции. Основные правила дифференцирования.
   • 9) Основные правила дифференциального исчисления.
   • 10 ) Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена.
   • 11) Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.
   • 12) Функции нескольких переменных. Частные производные.
   • 13) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
   • 14) Неопределенный интеграл и его основные свойства.
   • 15) Замена переменных и интегрирование по частям для неопределенного интеграла.
   • 16) Интегрирование рациональных функций.
   • 17) (Подписать к графику!!) Интегральная сумма и определенный интеграл.
   • 18) Основные свойства определенных интегралов. Методы интегрирования.
   • 19) Геометрические приложения определенного интеграла.
   • 1) Вычисление площади плоских фигур
   • 2) Вычисление объема
   • 20) Приближенное вычисление определенного интеграла. Методы интегрирования.
   • 1) Формула прямоугольников
   • 2) Формула трапеции
   • 21) Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
   • 22) Задача Коши и теорема Коши.
   • 23) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
   • 24) Решение дифференциальных уравнений методом подстановки (метод Бернулли)
   • Первый способ
   • Второй способ
   • 25) Решение дифференциальных уравнений методом вариации постоянной (метод Лангранжа) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)