. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение  по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр  с заданной надежностью .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

или

Преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство и обозначим  / s = q. Имеем

(A)

и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину

Оказывается, величина распределена по закону с n – 1 степенями свободы.

Несколько слов о распределении хи-квадрат. Если - независимые стандартные нормальные величины, то говорят, что случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.

Плотность распределения  имеет вид

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n.

Преобразуем неравенство (A) так, чтобы оно приняло вид . Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности , т.е.

.

Предполагая, что q < 1, перепишем (A) в виде

,

далее, умножим все члены неравенства на :

или .

Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна

.

Из этого уравнения можно по заданным найти , используя имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по выборке и найдя по таблице , получим искомый интервал (A1), покрывающий  с заданной надежностью .

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s = 0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью 0,95.

Решение. По заданным по таблице находим значение q = 0.32. Искомый доверительный интервал есть

.

Мы предполагали, что q < 1. Если это не так, то мы придем к соотношениям

,

и значение q >1 может быть найдено из уравнения