3. Основная теорема алгебры комплексных чисел

Теорема 3. Каждый многочлен степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

□ Заметим, что любое натуральное число можно записать так: где, – целое число, а – некоторое нечетное натуральное число.

Пусть – некоторый многочлен с действительными коэффициентами степени .

Докажем теорему методом математической индукции по к.

При показатель степени – нечетное число, и поэтому по теореме 2 утверждение справедливо, т.к. многочлен имеет действительный корень.

Допустим, что теорема 3 справедлива для произвольного многочлена с действительными коэффициентами степени , т.е. для многочлена степень которого делится на и не делится на . Докажем, что тогда она справедлива для всякой многочлена с действительными коэффициентами степени .

Для многочлена , который рассматривается над полем С существует поле разложения . В этом поле имеет n корней. Обозначим их . Выберем теперь произвольное действительное число и рассмотрим все возможные элементы поля , которые имеют вид .

Число таких элементов равно, как нетрудно увидеть, числу сочетаний из n элементов по два, т.е.

,

где – нечетное число.

Рассмотрим теперь многочлен .

Корнями этого многочлена являются числа и только они. Степень равна . Т.к. – действительное число, то коэффициенты – многочлены от с действительными коэффициентами, а значит и от . Легко понять, что любая подстановка элементов приводит к постановке линейных множителей многочлена

а сам многочлен от этого не изменится. А раз многочлен не изменится, то значит не изменяется и его коэффициенты при перестановке элементов . А это значит, что коэффициенты многочлена – симметрические многочлены от над полем R.

Но так как – корни многочлена с действительными коэффициентами, то в соответствии с теоремой 3 о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена – действительные числа. Тем самым многочлен именно такой, о котором было сделано предположение индукции, значит имеет хотя бы один комплексный корень. Но поскольку корнями являются только элементы , то хотя бы один из этих элементов должен быть комплексным числом.

Т.о., какие бы мы не взяли действительное число , можно указать такую пару индексов , что элемент поля является комплексным числом. Разным действительным числам и будут соответствовать разные пары индексов. Но множество действительных чисел бесконечно, а число всех возможных пар индексов конечное, значит можно выбрать такие два разных действительных числа и , что им будет отвечать одна и та же пара индексов , для которых

(14)

……………………………….(15)

Являются комплексными числами. Вычитая почленно эти равенства, получим , откуда

(16)

Подставляя (16) в (14), получим

Отсюда

(17)

Как видим сумма и произведение – комплексные числа. Но тогда из (16) и (17) можно найти и которые, очевидно, тоже являются комплексными числами. Числа и можно найти, например, как корни квадратного уравнения .

Тем самым мы установили, что среди корней многочлена существуют даже два комплексных корня ■

Докажем теперь более широкую, по сравнению с теоремой 3, теорему для многочленов с комплексными коэффициентами.

Теорема 4. (основная теорема алгебры комплексных чисел).

Каждый многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

□ Пусть – многочлен степени с произвольными комплексными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен , где – сопряженное с комплексное число.

Теперь рассмотрим произведение

,

где .

В соответствии со свойствами сопряженных комплексных чисел

,

т.е. все коэффициенты многочлена – действительные числа. Следовательно, по теореме 3 многочлен имеет хотя бы один комплексный корень . Но тогда .

Отсюда либо , либо . В первом случае является корнем многочлена .Во втором случае имеем

Заменим здесь все комплексные числа сопряженными, получим , т.е. число является корнем многочлена и поэтому опять справедлива.