1. Многочлены над полем

До сих пор мы рассматривали многочлен с неизвестной область целостности. Теперь потребуем, чтобы область целостности была полем. Любое поле есть область целостности с единицей. Значит, все результаты остаются в силе для этих многочленов для любых f(x) Р[х]; f(x) = g(x)S(x)+r(x), g(x) ≠ 0 P[x], s(x), r(x) P[x] (по теореме деления с остатком)

Нас будет интересовать тот случай, когда r(x) = 0, в этом случае говорят, что деление происходит без остатка (или нацело). Нуль-многочлен – это многочлен, все коэффициенты которого равны нулю: 0xⁿ + 0x^n-1 + … + 0x = 0 R – нулевой элемент поля P . Многочлен нулевой степени: 0xⁿ + 0x^n-1 + … + 0x + 0 ≠ 0; с = const, c P.

При делении нацело многочлена f(x) на многочлен g(x) в остатке получается нулевой многочлен. Будем считать, что f(x) P[x] делится на g(x) P[x], если существует S(x) P(x) такой что выполняется равенство: f(x) = g(x)S(x) (1)

Терминология и обозначения : f(x) g(x) – f(x) делится на g(x); f(x) / g(x) – g(x) делит f(x), g(x) является делителем f(x).

Как раннее было доказано, в этом случае частное s(x) находится однозначно. Очевидно, что нуль – многочлен делится на любой многочлен, не равный нулю; При этом частное – снова нуль-многочлен. Если делимое не является нуль – многочленом, значит частное не является нуль - многочленом. Поэтому будем считать, что любые многочлены не равны нулю.

Итак, кольцо многочленов P[x] не является полем, а значит, вообще говоря, многочлены из P[x] не делятся друг на друга без остатка. Но в отдельных случаях это деление происходит. Интерес к такому случаю определяется тем, что представление многочлена f(x) в виде произведения нескольких многочленов часто позволяет упростить решение связанных с ним задач. В частности, это обстоятельство существенно используется при решении алгебраических уравнений.