5. Методика вивчення числових систем. Проценти.

Основна мета вивчення процентів - ввести поняття про про­центи як форму запису числа. Навчити учнів розв'язувати три основні задачі на проценти (у тому числі і пов'язані з продук­тивністю праці, ринковою економікою та ін.). Вимоги до знань і умінь:

розуміти проценти як форму запису цілих і дробових чисел;

вміти записувати проценти у вигляді звичайного і десяткового дробів і подавати будь-яке число у вигляді процентів;

вміти знаходити: проценти від числа, число за його процентом і процентне відношення чисел;

вміти застосовувати знання про проценти до розв'язування най­простіших задач міжпредметного, виробничого і економічного змісту.

У сучасній навчально-методичній літературі є різні означення процента: 1) процентом називається одна сота частина (тут вико­ристовується аналогія з тим, що одну другу називають поло­виною, одну третю - третиною, одну четверту - четвертиною); 2) процентом називають дріб із знаменником 100; 3) процентом числа називають одну соту частину цього числа.

В останньому означенні поняття процента пов'язується з пев­ним числом. Проте в самій математиці і на практиці доводиться розглядати просто проценти і проценти як форму запису числа. Наприклад, треба виразити відношення в процентах, процент схожості насіння та ін. У цьому розумінні перше означення має переваги і використовується в чинних підручниках.

Сота частина дістала спеціальну назву «процент» і позначення = 1 %. Учням буде цікаво дізнатися, що крім сотої частини спеціальну назву і позначення дістала і частина.

Процентні обчислення грунтуються в основному на таких найпростіших задачах на проценти: 1) знаходження процентів даного числа; 2) знаходження числа за даним числом його про­центів; 3) знаходження процентного відношення двох чисел.

Кожну з цих задач можна розв'язати кількома способами:

1) зведенням до одиниці; 2) зведенням до дробів; 3) способом пропорцій; 4) за допомогою рівнянь; 5) за формулою.

Покажемо способи розв'язування трьох згаданих задач на проценти.

1. Знаходження процентів даного числа.

Задача. До овочевого магазину завезли 800 кг яблук, причому 62 % з них першого сорту. Скільки кілограмів яблук першого сорту завезли до магазину?

Розв'язання. Знайдемо спочатку, скільки кілограмів відповідає одному процентові, тобто соту частину всіх яблук: 800: 100 = 8 кг. Щоб знайти 62 %, треба виконати множення: 8 • 62 = 496 (кг).

2. Знаходження числа за даним числом його процентів.

Задача. При виготовленні вершкового морозива витрачено 35 кг цукру, що становить 14 % всієї маси морозива. Скільки кілограмів морозива виготовлено?

Розв'язання. Спочатку визна­чимо, скільки кілограмів морозива припадає на 1 %:

35:14 = = 2,5(кг),

Оскільки вся маса морозива становить 100 %, то

2,5 • 100 = 250 (кг).

Отже, виготовлено 250 кг морозива.

3. Знаходження процентного відношення двох чисел.

Задача. Учні 6 класу домовились за два дні зібрати 220 кг макулатури. Першого дня вони зібрали 88 кг. Який процент завдання виконано протягом першого дня?

Розв'язання. На 1 % припадає 220:100 = 2,2 (кг). Тому 88 кг становлять 88 : 2,2 = 40 (%).

6. Методика вивчення тригонометричних функцій.

7. Навчання наближеним обчисленням. Застосування мікрокалькулятора та персональних комп’ютерів в навчання математиці.

Вперше в наших школах тему «Наближені обчислення» стали опрацьовувати в 1959 р. Протягом багатьох наступних років на її вивчення в курсі арифметики VI класу відводили 11 годин. Згодом її розподілили між кількома класами, неодноразово змінювали її зміст і кількість годин, протягом яких вивчали цю тему.

Тепер учні загальноосвітніх шкіл розглядають тільки окремі питання наближених обчислень.

Округлення чисел

Округлення чисел — одне з найважливіших понять наближених обчислень. Все зде­більшого й зводиться до того, щоб розумно (своє­часно і правильно) округлювати результати вимірювань і обчис­лень.

Загального означення поняття «округлення чисел» давати учням не треба. Краще на окремих прикладах розкрити його зміст: «заміна числа 14,8 наближеним значенням 15 називається округленням цього числа до одиниць; заміна числа 76,1203 наближеним зна­ченням 76,12 — округленням цього числа до сотих».

Правило округлення досить формулювати тільки для десятко­вих дробів. Округлюючи десятковий дріб до якого-небудь розряду, усі цифри, що йдуть за цим розрядом, замінюють нулями (якщо вони стоять після коми, то їх відкидають). Якщо перша цифра за цим розрядом 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, яка лишається, збіль­шують на 1. Якщо перша цифра за цим розрядом 0, 1, 2, 3 або 4, то останню цифру, яка лишається, не змінюють. Не обов'язково вимагати, щоб учні вивчали це правило дослівно. Досить, коли вони переказуватимуть його своїми словами і вмітимуть правильно

користуватись ним.

Вводиться знак ≈ — «наближено дорівнює».

Абсолютна похибка

Абсолютною похибкою наближеного значення числа називають модуль різниці між числом і його наближеним значенням. Округливши число 4,8357 до десятих, дістанемо 4,8. Тут абсолютна похибка наближеного значення 4,8 дорівнює 0,0357.

Обов'язково слід зауважити учням, що абсолютну похибку не завжди можна вказати.

Якщо абсолютна похибка наближеного значення не перевищує деякого числа Н, то це значення називають наближеним значенням з точністю до Н.

Інші питання

Відносною похибкою наближеного значення називається відношення абсолютної похиб­ки до модуля наближеного значення. Наприклад, округливши точне число —2,487 до десятих, дістанемо наближене значення —2,5. Абсолютна похибка такого наближення

|—2,487 —(—2,5)| =0,013,

а відносна—0,013: | —2,5| =0,0052 = 0,52 %.

Коли абсолютна похибка наближеного значення не відома, не можна вказати і відносну похибку. В таких випадках оцінюють її, вказуючи число, якого вона не перевищує.

З іншими формулами наближених обчислень ознайомлюють старшокласників при розгляді застосувань похідної. Розглядають правила підрахунку цифр. В су­мі і різниці наближених значень зберігають стільки десяткових знаків, скільки їх є в тому з наближених даних, в якому десяткових знаків найменше. В добутку і частці наближених значень зберіга­ють стільки значущих цифр, скільки їх є в тому з наближених да­них, в якому значущих цифр найменше. Зауважують також, що ко­ли виконують кілька дій підряд, то іноді в проміжних результатах зберігають на одну цифру більше, ніж пропонується правилами дій над наближеними значеннями.

Як бачимо, сучасна програма пропонує учням небагато відомо­стей про наближені обчислення. Бо головне — не в теорії.

Мікрокалькулятори

Появились мікрокалькулятори (МК) порівняно недавно, а вже мільйони людей користуються ними. Є вони і в школах. В 1982 р. було запропоновано кожній середній школі і навіть восьмирічній придбати мікрокалькулятори і вчити учнів користуватись ними.

За функ­ціональними можливостями їх можна поділити на три групи: арифметичні, інженерні і програмовані.

Арифметичні МК — найпростіші. Вони можуть викону­вати чотири арифметичні дії, добувати квадратний корінь і обчис­лювати проценти.

Інженерні МК дають можливість виконувати всі обчислен­ня, з якими можуть зустрітись інженери і учні старших класів.

Програмовані МК дають можливість виконувати всі ті операції, що й інженерні, але вони мають по кілька регістрів па­м'яті, тому дозволяють порівняно складні розрахунки проводити набагато швидше, без записів окремих результатів.

Розглядаючи той чи інший мікрокалькулятор, не треба вже на першому уроці демонструвати учням всі його можливості, знайоми­ти з усією клавіатурою. Спочатку можна показати, як за його допо­могою обчислювати арифметичні вирази. На інших уроках, коли виникне потреба обчислювати значення тригонометричних функцій, треба навчити учнів робити це і за допомогою МК.

Комп'ютери

Комп'ютер — це сучасна ЕОМ, яка може розв'язувати найрізноманітніші задачі. Персо­нальний комп'ютер — порівняно невелика за об'ємом машина, яка може виконувати сотні тисяч опе­рацій за секунду і має функціональні можливості великих ЕОМ.

Для введення інформації слу­жить система клавіш, як у друкарської машинки, виво­диться інформація на дис­плей — телевізійний екран. Можна підключати до комп'ю­тера і зовнішню пам'ять—записи на дисках.

Вводити в комп'ютер мож­на не тільки цифри, а й букви (російські і латинські), табли­ці, різні символи, графіки. Це дає можливість розв'язу­вати не тільки математичні, фізичні задачі, що зводять­ся до числових відповідей, а й різні логічні, мовні, графічні задачі. Персональний комп'ютер може зберігати, поповнювати, перетворювати і видавати інформацію. Він набагато полегшує і при­скорює роботу.

Якщо мати відповідні програми, такий комп'ютер може слу­жити навчаючою і контролюючою машиною.