УМКД алгебра, 2курс

Характеристика кольца с единицей

Выясним, какие идеалы есть в простейшем кольце – кольце целых чисел. Как известно, каждое целое число n порождает главный идеал (n)=Zn. Такими идеалами исчерпывается множество всех идеалов кольца Z, т.к. справедлива теорема.

Терема 9. Каждый идеал кольца целых чисел является главным идеалом.

□ Пусть J – некоторый идеал кольца Z. Если J – нулевой идеал, то J=(0). Если же в идеале J содержится целое число , то в нем содержится также и число –с. Одно из чисел с или –с – положительное, следовательно в J содержатся натуральные числа. Пусть а – наименьшее из натуральных чисел, содержащихся в J. Тогда , значит . Покажем, что и, наоборот,

Пусть b – произвольное число из идеала J. Разделив b на a, получим b=aq+r, .Т.к. a , b то и . Отсюда и из условия вытекает, что r=0, т.к. в противном случае а не было бы наименьшим среди натуральных чисел, содержащихся в J. Т. о., b=aq поэтому b , а следовательно и J . Но т.к. и J , то ■

Определение 7. Характеристикой кольца А с единицей е называется число О, если ne=0 только при n=0; характеристикой кольца А называется натуральное число р, если hl=0 и нет такого натурального числа m<p, что ml=0.

Пример 1. Все числовые кольца с единицей имеют, очевидно характеристику 1.

Пример 2. Каждое конечное кольцо А с единицей е является кольцом ненулевой характеристики. Действительно, если А – конечное кольцо, то среди всех целых положительных кратных единичного элемента е обязательно будут кратные, равные между собой, т.к. в противном случае кольцо А было бы бесконечным. Пусть kl=me, где k, m и m>k. Тогда (m-k)e и, значит, А является кольцом ненулевой характеристики.

Каждое натуральное число n является характеристикой некоторого кольца с единицей: n является характеристикой фактор – кольца Z/(n). Докажем теоремы, которые характеризуют свойства колец характеристики о и характеристики р.

Теорема 10. Если К является областью целостности, характеристики о, то

□Пусть а – произвольный, не равный нулю элемент из К и n – любое натуральное число. Тогда

Предположим, что na=0, тогда и a(ne)=0. Так как в К нет делителей нуля и по условию теоремы , то из равенства a(ne)=0 следует, что ne=0, чего быть не может. Следовательно предположение, что na=0, неверное. Т.о., для любого натурального n имеем . При любом целом отрицательном n также , ибо если элемент na кольца К был равен нулю 0, чего по доказанному выше быть не может. ■

Теорема 11. Если К – кольцо характеристики р, то .

□ . ■

Содержание