4. Разложение многочлена над полем с

в произведение линейных множителей

Из доказанной основной теоремы 4 вытекает ряд важных следствий.

Теорема 5. Каждый многочлен, степень которого больше единицы, приводимый над полем комплексных чисел.

□ Пусть – многочлен степени . В соответствии с основной теоремой существует хотя бы один корень этого многочлена. Но тогда делится на , т.е. .

Очевидно, что степень многочлена не равна нулю. Тем самым проводимость над полем С доказана. ■

Следствие. Для того, чтобы многочлен был неприводим над полем комплексных чисел, необходимо и достаточно, чтобы его степень была равна единице.

Теорема 6. Каждый многочлен n –й степени над полем комплексных чисел единственным способом (с точностью до порядка множителей) разлагается на линейные множители над этим полем.

,

где – корни, а – старший коэффициент многочлена .

□ Ранее мы доказали, что каждый многочлен над полем С можно разложить в произведение неприводимых над этим полем многочленов , причем многочлены определены однозначно с точностью до постоянного множителя. Но над полем С неприводимыми являются только линейные многочлены. Следовательно, все многочлены первой степени, и поэтому их число . Т.к. определяются с точностью до полного множителя, то можно считать нормированными, т.е. . Тогда может отличаться от произведения всех только постоянным множителем, т.е.

Приравнивая старшие коэффициенты в обеих частях этого равенства, видим, что . Очевидно, что числа являются корнями . Обозначая из через получим разложение (18), однозначное с точностью до порядка множителей. ■

Из разложения (18) вытекает, что никакое комплексное число отличное от не может быть корнем многочлена . Т.е. справедливо утверждение.

Теорема 7. Многочлен n-й степени в поле комплексных чисел имеет ровно n-корней.

Из разложения (18) видно также, что все корни над полем С принадлежат этому же полю С, т.е. полем разложения всякого многочлена с комплексными коэффициентами есть поле С комплексных чисел. Следовательно, поле С алгебраически замкнуто.

Эти результаты показывают, что только при переходе к комплексной области можно создать общую теорию алгебраических уравнений; в поле Q или в поле R те или иные уравнения могут вообще не иметь корней или иметь только некоторые из них.

Т.к. в разложении (18) многочлена над полем С могут быть кратные множители, то в этом случае разложение (18) будет иметь вид

(19)

– корни , среди которых нет равных между собой .

В этом случае теорема 7 и формулы Виета справедливы, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.