§ 3. Понятие алгебры. Алгебра множеств кантора

Алгеброй А называется совокупность множества М с заданными в нем операциями S = { f₁, f₂,…, f_п}, т.е.

А = <M, S >,

где М – носитель алгебры , S – сигнатура алгебры, которая включает в себя одноместные, двухместные и другие операции.

Алгебра вида A = <M, f>, где f – двухместная операция, называется группоидом.

Если f – операция типа умножения ( ), то группоид называется мультипликативным. Если f – операция типа сложения (+), то группоид называется аддитивным.

Элемент е называется нейтральным элементом группоида А, если для любого элемента выполняется равенство

m f е = е f m = m.

Если группоид A = <M,f > мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается через 1, если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается через 0.

Если множество М содержит нейтральный элемент е относительно операции f , то элемент n называется обратным элементу m , если

m f n = n f m = e.

Запись означает, что обратным элементом элементу m является элемент n. При аддитивной записи обратный элемент элементу m обозначается через – m, а при мультипликативной записи – через m ^{– 1} .

Группоид A = <M, f > называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности, т.е. для любого

m f m = m.

Группоид A = <M, f > называется коммутативным или абелевым , если его сигнатура подчиняется закону коммутативности, т.е. для любых m,n

m f n = n f m.

Группоид A = <M, f > называется ассоциативным или полугруппой, если его сигнатура удовлетворяет закону ассоциативности, т.е. для любых

(m f n) f p = m f (n f p).

Полугруппа A = <M, f > , в которой выполнимы обратные операции, называется группой.

Пример. К какому типу относится алгебра A = < Z , >, являющаяся совокупностью множества целых чисел с заданной в нем операцией умножения.

□ В множестве целых чисел выполняется коммутативный закон. Значит, заданный мультипликативный группоид является коммутативным или абелевым. В данном множестве также выполняется закон ассоциативности. Следовательно, заданный группоид является ассоциативным или полугруппой. Другими словами, заданный мультипликативный группоид является абелевой полугруппой по умножению.

Нейтральным элементом е является 1, т.е. е = 1, т.к. для любого целого числа m выполняется условие mּ1=1ּт = m.

Для любого целого числа m обратным элементом m ^{– 1} будет 1/m, т.к. mּ ּm = e = 1. Так как группоид является полугруппой и в ней выполнима обратная операция, то он является группой. Таким образом, заданная алгебра является абелевой группой по умножению.

■

Алгеброй множеств (алгеброй Кантора) называют алгебру вида

,

где булеан B(U) – носитель алгебры, а снгнатура – двухместные операции объединения и пересечения , а также одноместная операция дополнения .

Для операций алгебры множеств выполняются следующие законы и свойства:

1. Коммутативности объединения и пересечения

2. Ассоциативности объединения и пересечения

3. Дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения

4. Идемпотентности объединения и пересечения

5. Действия с универсальным U и пустым Ø множествами

Ø =М , Ø = Ø ,

Ø .

6. Де Моргана

=

7. Двойного дополнения

=М .

8. Склеивания

9. Поглощения

10. Порецкого

Алгебра множеств по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой.