КЛ

§ 3. Бином и полином

Запишем формулы бинома.

Для

(1)

Если заменить b на − b, то из формулы (1) следует:

, (2)

где коэффициенты называют биномиальными коэффициентами.

Для всех неотрицательных целых чисел п, k

(3)

Область определения биномиальных коэффициентов можно расширить:

для функция

(4)

является биномиальным коэффициентом.

Для целых оба определения для биномиальных коэффициентов совпадают.

Замечание: читается: С из п по k ; п над k .

Примеры.

□ 1)

4) . ■

Свойства биномиальных коэффициентов

Числа имеют ряд важных свойств:

1⁰ для целых справедливо свойство симметрии

2⁰ теоремы сложения:

из формулы бинома при а = 1, b = 1 следует:

это число равно числу всех возможных неупорядоченных подмножеств множества М, состоящего из п элементов (булеан),

при а = 1, b = −1 :

из этого равенства следует, что суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на четных и нечетных местах, равны между собой и каждая равна ;

;

3⁰ для теоремы сложения имеют вид :

Формула полинома является обобщением формулы бинома, т.е.

для любых действительных чисел а₁, а₂, … , а_т не равных нулю и любого натурального числа п имеет место формула:

(5)

при этом суммирование распространяется на все наборы натуральных чисел для которых .

Коэффициенты

определенные для всех натуральных п и всех наборов неотрицательных чисел , для которых , называют полиномиальными коэффициентами.

Полиномиальные коэффициенты часто записывают в виде .

При формула (5) принимает вид

(6)

Пример. □

■

Содержание