3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.

Пусть дана дробь , где р(х) и q(x) - многочлены над полем Q, а - иррациональный корень неприводимого многочлена

f(х) = х + а х + ... + а x + а с рациональными коэффициентами (при этом, конечно, q(x) 0. Необходимо проделать некоторые тождественные преобразования дроби, чтобы уничтожить иррациональность в знаменателе. Из доказательства теоремы 1 ясно, что необходимо сделать. Если степень q(х) больше или равна n, то делим q(x) на f(х) с остатком, получим равенство q(x) = f(x)s(x) + r(x). Подставляя значение х = , получим q( ) = r( ), поэтому = , где степень r(х) меньше степени f(х). Таким образом, всегда можно считать степень знаменателя меньшей, чем n. Но тогда ясно, что многочлены q(x) и f(х) взаимно простые, ибо f(х) – неприводимый многочлен. Пусть теперь (х) и (х) - такие многочлены над Q, что

(х)f(х) + (х)q(х) = 1 (4)

Тогда = ( ) и = р( ) ( ) (5)

Таким образом, для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби , где - корень неприводимого многочлена f(х), необходимо сделать следующее:

1) Если степень q(х) n, то заменить q( ) на r( ), где r(х) - остаток от деления q(x) на f(х).

2) Найти многочлены (х) и (х), которые удовлетворяют (4).

3) Вычислить (х) и представить дробь в виде (5). Пример:

Рассмотрим дробь

Здесь f(х) = х² - 2, р(х) = х + 4, q(х) = 2 - х, степень q < степени f. Находим (x) и (х) такие, что (х) (х³-2) - (х) (- х + 2) = 1.

Проведя соответствующие вычисления, получим:

(x) = , (х) = x + x + .

Теперь по формуле (5) имеем:

= ( +4)( x + x + ) = + 2 + 3.