6.3. Средние величины и способы их вычисления

Любые признаки, если они выражаются при помощи счета или меры, приобретают значение математических величин. Чтобы получить более или менее точную и объективную характеристику варьирующей величины, прибегают наряду с построением статистических таблиц, графиков и диаграмм к различного рода суммарным числовым показателям. Наиболее часто и широко как и в практической деятельности человека, так и в научных исследованиях используется средняя величина. Она дает суммарную характеристику любого признака, указывая на то типичное и устойчивое в явлении, что наиболее полно выражает его содержание. Так, например, принято говорить о средней производительности, о средней зарплате, о средней численности работников.

Существует несколько видов средних, которые используются в статистике: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая, средняя геометрическая, а также вспомогательные средние показатели: мода и медиана.

Значение средней арифметической, которую принято обозначать через (икс малое с черточкой наверху) есть не что иное, как частное от деления суммы всех вариант совокупности на их число, т.е.

(6.3.)

где: обозначают варианты, входящие в состав данной совокупности;

- знак суммирования;

n–общее число вариант, или объем выборочной совокупности.

Средняя арифметическая выражается теми же единицами меры или счета, что и характеризуемый ею признак. Возьмем пример:

= (8+10+7+9+10+11+13+9+12+11):10=10.

Анализируя данный пример замечаем, что отдельные варианты повторяются.

Нетрудно понять, что при повторяемости отдельных вариант среднюю арифметическую можно представить как сумму произведений отдельных вариант на их частоты, отнесенную к общему числу всех вариант данной совокупности, т.е. как

(6.4.)

Так, для указанного примера средняя арифметическая определяется следующим образом.

Расчет значений х-р приведен в таблице 6.4

Таблица 6.4 Расчет значений произведений х-р.

Значение средней арифметической, вычисляемое по формуле (6.3), называется взвешенной средней на том основании, что отдельные варианты с разной частотой встречающиеся в совокупности по разному определяют значение средней величины.

Иногда признаки, с которыми приходится иметь дело, выражаются либо мерами объема, либо мерой площади. Например, средний объем загрязненного воздуха, выбрасываемого предприятием в атмосферу за определенный промежуток времени, или средняя площадь загрязнения вокруг предприятия в следствии вредных выбросов.

Средняя площадь загрязнения рассчитывается по величине средней квадратической.

Средняя квадратическая равна:

(6.5.)

Эта характеристика применяется при определении среднего размера какой-либо поверхности. Например, вблизи предприятия замечено отложение вредных веществ пятнами различного диаметра (в метрах) (табл.6.5)

Таблица 6.5 Число пятен загрязнения поверхности.

Нужно определить средний размер этих пятен.

Средняя квадратическая пятен равна:

==13,9 м

Средняя кубическая равна

(6.6.)

Средняя кубическая используется при определении средних объемов различных величин. Например, для определения сорта куриных яиц были проведены измерения средних диаметров 18 куриных яиц. Полученные результаты приведены в таблице 6.6.

Таблица 6.6.Число яиц разного диаметра

Нужно определить средний размер яиц по их диаметру. Вычисляем среднюю кубическую этих данных:

Если вычислить среднюю арифметическую этого признака, она оказывается несколько меньшей по сравнению со средней кубической:

В вариационных рядах средние величины характеризуются медианой и модой.

Медиана- показатель описательного характера – не зависит от параметрических характеристик ряда. Она служит серединой вариационного ряда, по обе стороны одинаковое число вариант. Например, для следующего распределения:

Медиана равна 10: в обе стороны от этой величины расположено по четыре варианты. Значение 10 занимает центральное положение в этом ряду, является его медианой.

Модой называется наиболее часто встречающая величина. В непрерывных вариационных рядах мода находится обычно в том классе, который имеет наибольшее число вариант. Этот класс называется модальным классом. Например, в распределении, показанном на рисунке 6.1. мода равна 16.5 и находится в классе 12. Мода, как и медиана, - величина довольно близкая к средней арифметической и совпадает с ней при полной симметрии распределения вариант по классам вариационного ряда.