7.5.Способ выравнивания эмпирических рядов
Из всех способов выравнивания эмпирических рядов наиболее точен
способ наименьших квадратов. Его предложил К.Гаусе в 1806 г. на том основании, что сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической есть величина наименьшая. Это первая теорема о свойствах средней арифметической. А так как зависимость между переменными Х и У выражается обычно рядом колеблющихся величин, то указанное свойство используется для нахождения наиболее вероятных усредненных значений этих величин. В этом и заключается сущность метода наименьших квадратов, который в равной мере пригоден для выравнивания самых различных зависимостей между переменными величинами и нахождения параметров уравнений, характеризующих эти зависимости. Во всех случаях обработка эмпирических данных по способу наименьших квадратов производится следующим образом:
1. Исходя из геометрического места точек двух переменных У и Х, подбирают соответствующее уравнение, которое достаточно точности выражает зависимость между переменными величинами.
2. В исходное уравнение подставляют попарно эмпирические данные и получают систему нормальных уравнений.
3. Решают совместно полученные уравнения и определяют их параметры.
4. Подставив найденные значения параметров в общее уравнение функции, получают эмпирическое уравнение, выражающее зависимость между переменными Х и У.
5. Подставляя в эмпирическое уравнение значения одной из переменных Х или У, находят соответствующие средние значения другой переменной величины. Таким образом, получается усредненный, или выровненный, ряд значений, называемый также теоретическим рядом развития. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к различным случаям зависимости между переменными величинами Х и У.
Прямолинейная зависимость
На рисунке 7.1приведена прямолинейная зависимость междупроизводительностьюи стоимостью продукции. Эта зависимость может быть описана формулой прямолинейной зависимостью
С = а*П+в (7.18)
где: С – себестоимость продукции;
П – производительность труда;
а,в – постоянные коэффициенты.
По данным приведенным в таблице.7.1 суммируем значения исходных
величин:
12= а•10+в
10= а•12+в
9= а•13+в
8= а•15+в
(7.19)
6= а*17+в
6= а*20+в
5= а*21+в
4= а*24+в
Сумма 67= а•148+в•9
Суммарное уравнение(7.19) имеет два неизвестных постоянных коэффициента. Для нахождения неизвестных надо еще одно уравнение. Для получения второго уравнения умножаем каждое уравнение(7.17) на соответствующее значение производительности, затем суммируем их и получим второе суммарное уравнение:
120=а•100+в•10
120=а•124+в•12
117=а•169+в•13
120=а•225+в•15
(7.20)
102=а*289+в*17
120=а*400+в*20
105=а*441+в*21
96=а*576+в*24
Сумма 1012=а•2580+в•148
После решения системы уравнений:
(7.21)
1012=а•2580+в•148
были получены значения постоянных коэффициентов:
а=-0,61 и в=17,52
и уравнение (7.18)принимает следующий вид:
С = 178,52 – 0,63П (7.22)
Рассчитанные по формуле(7.22) значения стоимостьпоказана на рисунке7.1(сплошная линия).
Криволинейная зависимость
Аналогичным образом, как и для прямолинейной зависимости, определяются постоянные коэффициенты для уравнений более высокого порядка. В качестве примера рассмотрим расчет постоянных коэффициентов для уравнения изменения стоимости продукции по годам – формула (6.26). Так как в этой формуле 3 постоянных коэффициентов должно быть составлена система из 3-хуравнений:
x=at2+bt+cn
(7.23)
x3= at2x2+btx2+cx2
Для удобства вычисления следует составить таблицу. По данным приведенным в таблице 6.9 (колонки 1и2) составлена следующая вспомогательная таблица(табл. 7.4)
Таблица 7.4. Расчет значений постоянных коэффициентов
Время (номер года) (t) | Стоимость (х) | Значения показателей | ||||||
t2 | x2 | x3 | xt | xt2 | x2 t | x2t2 | ||
1 | 4,0 | 1 | 16,00 | 64,00 | 4,0 | 4,0 | 16,0 | 16,0 |
2 | 5,2 | 4 | 27,04 | 140,61 | 10,4 | 20,8 | 54,1 | 108,2 |
3 | 6,0 | 9 | 36,00 | 216,00 | 18,0 | 54,0 | 108,0 | 324,0 |
4 | 8,5 | 16 | 72,25 | 614,12 | 34,0 | 136,0 | 289,0 | 1156,0 |
5 | 6,7 | 25 | 44,89 | 300,76 | 35,5 | 167,0 | 224,4 | 1120,0 |
Сумма 15 | 30,4 | 55 | 196,18 | 1335,5 | 99,9 | 382,3 | 691,5 | 2724,2 |
С учетом рассчитанных значений показателей (табл. 7.4) система уравнений (7.20) принимает следующий вид :
50,4=а•55+в•15+5с
196,18=а•382,3+в•99,9+50,4с (7.24)
1335,5=а•2724,4+в•691,5+196,18с
В результате решения системы уравнений (7.24) получаем следующие значения постоянных коэффициентов:
а=-0,16, в=2,26, с=1,04
и первое уравнение системы (7.23) принимает следующий вид:
х=-0,16t2+2.26t+1.04 (7.25)
Рассчитанные по формуле (7.25) значения стоимости продукции приведены в таблице 6.9 (колонка 5) и показаны на рисунке 6.5 (сплошная линия).
Степенная (показательная) зависимость
Степенные функции:
у=аbх(7.26)
или
у=аехb(7.27)
после их логарифмирования принимают следующий вид:
ln y=ln a+x ln b (7.28)
или
ln y=ln a+x b (7.29)
Зависимости (7.28) и (7.29) имеют вид уравнения первогопорядка и определение значений постоянных коэффициентов(lna,lnbиb)проводится по методике определение коэффициентов при прямолинейной зависимости.
- Э.Н.Медведев основы научных исследований Учебное пособие
- Медведев э.Н.
- Введение к курсу «основы научных исследований»
- 1.1. Необходимость и важность изучения курса «Основы научных исследований»
- Контрольные вопросы
- 2. Организация. Виды и формы научной работы студентов
- 2.1. Организация научно-исследовательской работы студентов
- 2.2. Реферат – как первая научная работа
- 2.3 Курсовая работа
- 2.4. Дипломная работа
- 2.5. Магистровская работа
- Науковедение и классификация наук
- 3.4.Основные направления исследований
- Контрольные вопросы
- 4.Информационное обеспечение научно-исследовательского процесса
- 4.1.Основные термины и понятия
- 4.2. Экономическая информация
- 4.3. Типы научных документов и их классификация.
- 4.4.Закономерности роста и старения научных документов
- 4.5.Информационное обеспечение научно-исследовательского процесса
- 4.6.Особенности научно-исследовательского процесса в условиях
- 4.7.Глобальная сеть «Internet»
- 5.Методология научных исследований
- 5.1.Цель и задачи науки
- 5.2.Объекты научных исследований и их классификация
- 5.3.Методологические приёмы в исследовании вопросов экономики
- 5.4.Методологические приёмы в исследовании маркетинга
- 5.5.Гипотеза в научных исследованиях
- 5.6.Эксперимент в научных исследованиях
- 6. Статистические и вероятностные методы исследований
- 6.3. Средние величины и способы их вычисления
- 6.4.Дисперсия, среднее квадратичное отклонение
- 6.5.Вероятность события
- Среднее значение
- Параметры распределения
- 6.7.Прогноз значений случайной величины
- Контрольные вопросы
- 7.Анализ результатов наблюдений
- 7.1.Корреляционный анализ
- 7.3. Ранговый коэффициент корреляции
- 7.4.Регрессионный анализ
- 7.5.Способ выравнивания эмпирических рядов
- 7.6. Определение показателей при отсутствии аналитических зависимостей
- Контрольные вопросы
- 8. Линейное програмирование
- 8.1. Общие понятия
- 8.2. Теория игр.
- 9.Организация и проведение научных исследований
- 9.1. Научно-исследовательский процесс
- 9.2.Научная организация труда в исследовательской деятельности
- 9.3.Организационная стадия научно-исследовательского процесса
- 9.4.Выбор научно-исследовательской темы
- 9.5 Исследовательская стадия научного процесса
- 9.6.Завершающая стадия исследовательского процесса.
- Контрольные вопросы
- 10.Психология научного творчества
- 10.1.Научное мышление
- 10.2. Методы активизации творческого мышления
- 10.3.Влияние внешних факторов на мышление
- 10.4. О возрастном цензе в науке и о „научном старении”
- 10.6. Методика использования литературных источников
- Контрольные вопросы
- 11. Правовые основы в сфере науки. И научно-технической деятельности
- 11.1. О научной и научно-технической деятельности
- 11.2 Правовой статус субъектов научной и научно-технической деятельности
- 11.3.Авторское право
- 11.4 Право на открытие и изобретение
- Контрольные вопросы
- Приложение а оформление реферата и курсовой работы а.1.Оформленике реферата
- Министерство образования и науки Украины
- А.2.Постановка, оформление и защита курсовой работы
- Приложение б порядок написания литературньіх источников
- Приложение в Подготовка, оформление и защита дппломной и магистровской работ
- В.1 Организация подготовки дипломной или магистровской работы
- В.1.2.Назначение научного руководителя
- В.2. Организация написания работы
- Міністерство освіти і науки України
- В.3.2.Нумерация
- В.3.3.Иллюстрации
- В.3.4.Таблицы
- В.3.5.Формулы
- В.3.6.Правила использования цитат
- В.3.7.Оформление списка использованных материалов
- В.3.8.Приложения
- В.4. Защита научной работы
- В.5.Отчет о научно-исследовательской работе
- Приложение г
- Розділ і Загальні положення
- Розділ II Правовий статус суб'єктів наукової і науково-технічної діяльності
- Державні гарантії діяльності наукових працівників