6.3. Средние величины и способы их вычисления
Любые признаки, если они выражаются при помощи счета или меры, приобретают значение математических величин. Чтобы получить более или менее точную и объективную характеристику варьирующей величины, прибегают наряду с построением статистических таблиц, графиков и диаграмм к различного рода суммарным числовым показателям. Наиболее часто и широко как и в практической деятельности человека, так и в научных исследованиях используется средняя величина. Она дает суммарную характеристику любого признака, указывая на то типичное и устойчивое в явлении, что наиболее полно выражает его содержание. Так, например, принято говорить о средней производительности, о средней зарплате, о средней численности работников.
Существует несколько видов средних, которые используются в статистике: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая, средняя геометрическая, а также вспомогательные средние показатели: мода и медиана.
Значение средней арифметической, которую принято обозначать через (икс малое с черточкой наверху) есть не что иное, как частное от деления суммы всех вариант совокупности на их число, т.е.
(6.3.)
где: обозначают варианты, входящие в состав данной совокупности;
- знак суммирования;
n–общее число вариант, или объем выборочной совокупности.
Средняя арифметическая выражается теми же единицами меры или счета, что и характеризуемый ею признак. Возьмем пример:
= (8+10+7+9+10+11+13+9+12+11):10=10.
Анализируя данный пример замечаем, что отдельные варианты повторяются.
Нетрудно понять, что при повторяемости отдельных вариант среднюю арифметическую можно представить как сумму произведений отдельных вариант на их частоты, отнесенную к общему числу всех вариант данной совокупности, т.е. как
(6.4.)
Так, для указанного примера средняя арифметическая определяется следующим образом.
Расчет значений х-р приведен в таблице 6.4
Таблица 6.4 Расчет значений произведений х-р.
Среднее значение классов (х) | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Частота (р) | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
х-р | 7 | 8 | 18 | 20 | 22 | 12 | 13 |
Значение средней арифметической, вычисляемое по формуле (6.3), называется взвешенной средней на том основании, что отдельные варианты с разной частотой встречающиеся в совокупности по разному определяют значение средней величины.
Иногда признаки, с которыми приходится иметь дело, выражаются либо мерами объема, либо мерой площади. Например, средний объем загрязненного воздуха, выбрасываемого предприятием в атмосферу за определенный промежуток времени, или средняя площадь загрязнения вокруг предприятия в следствии вредных выбросов.
Средняя площадь загрязнения рассчитывается по величине средней квадратической.
Средняя квадратическая равна:
(6.5.)
Эта характеристика применяется при определении среднего размера какой-либо поверхности. Например, вблизи предприятия замечено отложение вредных веществ пятнами различного диаметра (в метрах) (табл.6.5)
Таблица 6.5 Число пятен загрязнения поверхности.
Размер пятна (х),м2 |
| 8 | 11 | 13 | 15 | 16 |
Число случаев(р) |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 2 |
Нужно определить средний размер этих пятен.
Средняя квадратическая пятен равна:
==13,9 м
Средняя кубическая равна
(6.6.)
Средняя кубическая используется при определении средних объемов различных величин. Например, для определения сорта куриных яиц были проведены измерения средних диаметров 18 куриных яиц. Полученные результаты приведены в таблице 6.6.
Таблица 6.6.Число яиц разного диаметра
Диаметр яиц (см) | 4,7 | 4,8 | 5,0 | 5,4 | 5,6 | 6,0 |
Число случаев (р) | 2 | 4 | 6 | 3 | 2 | 1 |
Нужно определить средний размер яиц по их диаметру. Вычисляем среднюю кубическую этих данных:
Если вычислить среднюю арифметическую этого признака, она оказывается несколько меньшей по сравнению со средней кубической:
В вариационных рядах средние величины характеризуются медианой и модой.
Медиана- показатель описательного характера – не зависит от параметрических характеристик ряда. Она служит серединой вариационного ряда, по обе стороны одинаковое число вариант. Например, для следующего распределения:
х: |
| 3 |
| 6 |
| 7 | 9 |
| 10 | 12 | 13 |
р: |
| 1 |
| 1 |
| 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Медиана равна 10: в обе стороны от этой величины расположено по четыре варианты. Значение 10 занимает центральное положение в этом ряду, является его медианой.
Модой называется наиболее часто встречающая величина. В непрерывных вариационных рядах мода находится обычно в том классе, который имеет наибольшее число вариант. Этот класс называется модальным классом. Например, в распределении, показанном на рисунке 6.1. мода равна 16.5 и находится в классе 12. Мода, как и медиана, - величина довольно близкая к средней арифметической и совпадает с ней при полной симметрии распределения вариант по классам вариационного ряда.
- Э.Н.Медведев основы научных исследований Учебное пособие
- Медведев э.Н.
- Введение к курсу «основы научных исследований»
- 1.1. Необходимость и важность изучения курса «Основы научных исследований»
- Контрольные вопросы
- 2. Организация. Виды и формы научной работы студентов
- 2.1. Организация научно-исследовательской работы студентов
- 2.2. Реферат – как первая научная работа
- 2.3 Курсовая работа
- 2.4. Дипломная работа
- 2.5. Магистровская работа
- Науковедение и классификация наук
- 3.4.Основные направления исследований
- Контрольные вопросы
- 4.Информационное обеспечение научно-исследовательского процесса
- 4.1.Основные термины и понятия
- 4.2. Экономическая информация
- 4.3. Типы научных документов и их классификация.
- 4.4.Закономерности роста и старения научных документов
- 4.5.Информационное обеспечение научно-исследовательского процесса
- 4.6.Особенности научно-исследовательского процесса в условиях
- 4.7.Глобальная сеть «Internet»
- 5.Методология научных исследований
- 5.1.Цель и задачи науки
- 5.2.Объекты научных исследований и их классификация
- 5.3.Методологические приёмы в исследовании вопросов экономики
- 5.4.Методологические приёмы в исследовании маркетинга
- 5.5.Гипотеза в научных исследованиях
- 5.6.Эксперимент в научных исследованиях
- 6. Статистические и вероятностные методы исследований
- 6.3. Средние величины и способы их вычисления
- 6.4.Дисперсия, среднее квадратичное отклонение
- 6.5.Вероятность события
- Среднее значение
- Параметры распределения
- 6.7.Прогноз значений случайной величины
- Контрольные вопросы
- 7.Анализ результатов наблюдений
- 7.1.Корреляционный анализ
- 7.3. Ранговый коэффициент корреляции
- 7.4.Регрессионный анализ
- 7.5.Способ выравнивания эмпирических рядов
- 7.6. Определение показателей при отсутствии аналитических зависимостей
- Контрольные вопросы
- 8. Линейное програмирование
- 8.1. Общие понятия
- 8.2. Теория игр.
- 9.Организация и проведение научных исследований
- 9.1. Научно-исследовательский процесс
- 9.2.Научная организация труда в исследовательской деятельности
- 9.3.Организационная стадия научно-исследовательского процесса
- 9.4.Выбор научно-исследовательской темы
- 9.5 Исследовательская стадия научного процесса
- 9.6.Завершающая стадия исследовательского процесса.
- Контрольные вопросы
- 10.Психология научного творчества
- 10.1.Научное мышление
- 10.2. Методы активизации творческого мышления
- 10.3.Влияние внешних факторов на мышление
- 10.4. О возрастном цензе в науке и о „научном старении”
- 10.6. Методика использования литературных источников
- Контрольные вопросы
- 11. Правовые основы в сфере науки. И научно-технической деятельности
- 11.1. О научной и научно-технической деятельности
- 11.2 Правовой статус субъектов научной и научно-технической деятельности
- 11.3.Авторское право
- 11.4 Право на открытие и изобретение
- Контрольные вопросы
- Приложение а оформление реферата и курсовой работы а.1.Оформленике реферата
- Министерство образования и науки Украины
- А.2.Постановка, оформление и защита курсовой работы
- Приложение б порядок написания литературньіх источников
- Приложение в Подготовка, оформление и защита дппломной и магистровской работ
- В.1 Организация подготовки дипломной или магистровской работы
- В.1.2.Назначение научного руководителя
- В.2. Организация написания работы
- Міністерство освіти і науки України
- В.3.2.Нумерация
- В.3.3.Иллюстрации
- В.3.4.Таблицы
- В.3.5.Формулы
- В.3.6.Правила использования цитат
- В.3.7.Оформление списка использованных материалов
- В.3.8.Приложения
- В.4. Защита научной работы
- В.5.Отчет о научно-исследовательской работе
- Приложение г
- Розділ і Загальні положення
- Розділ II Правовий статус суб'єктів наукової і науково-технічної діяльності
- Державні гарантії діяльності наукових працівників