§ 8.2. Методы интегрирования
11
§ 8.2. Методы интегрирования
Основными при¨емами, используемыми при интегрировании элементарных функций, являются интегрирование по частям и интегрирование с помощью замены переменной (интегрирование подстановкой).
Заметим, что взятие неопредел¨енных интегралов элементарных функций является трудной часто неразрешимой задачей. Здесь требуются опыт и изобретательность.
Теорема 8.2.1 (Интегрирование по частям). Пусть на некотором промежутке функции ( ) и ( ) имеют производные и существует интеграл ∫ ′ . Тогда на этом промежутке существует интеграл ∫ ′ и справедливо равенство, которое называют формулой интегрирования по частям,
∫ | ′ = − ∫ | ′ + , | (8.2.1) |
где – некоторая постоянная.
Доказательство. Найд¨ем производную функции из правой части (8.2.1):
( −∫ | ′ + )′ | = ( )′ −(∫ | ′ )′ | = ′ + ′ − ′ = ′. | ||||||
Таким образом, функция − | ′ + является перво- | |||||||||
образной функции | ′ | . Значит, | неопредел¨енный интеграл | ′ | ||||||
|
|
|
| ∫ |
| некоторую по- | ||||
существует и отличается от этой первообразной на |
| ∫ |
стоянную, т.е. справедливо равенство (8.2.1). Теорема доказана.
Формулу интегрирования по частям записывают также следу-
ющим образом: | = − ∫ |
|
|
| ||
понимая ∫ | ∫ | + , | (8.2.2) | |||
как интеграл ∫ | ′ и ∫ | как ∫ | ′ . |
Теорема 8.2.2 (Замена переменной). Пусть функция ( ) на некотором промежутке имеет первообразную
∫
( ) = ( ) + . (8.2.3)
- § 8.2. Методы интегрирования
- § 9.1. Определение интеграла Римана
- § 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов
- § 9.7. Теоремы о среднем
- § 9.9. Приближённое вычисление интегралов
- § 9.11. Задачи и упражнения
- Глава 10. Интеграл Римана–Стилтьеса
- § 10.1. Функции ограниченной вариации
- § 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса
- § 10.4. Задачи и упражнения
- § 11.3. Пределы функций многих переменных
- § 11.4. Непрерывные функции многих переменных
- § 11.5. Задачи и упражнения
- § 12.6. Формула Тейлора
- Глава 14. Экстремумы функций многих переменных
- § 14.1. Локальные экстремумы
- § 14.2. Условный локальный экстремум
- § 14.3. Метод неопределённых множителей Лагранжа