§ 12.6. Формула Тейлора
161
(∂/∂ )2, получающиеся при возведении в квадрат, понимают как
∂2/∂ 2, произведения ∂/∂ и ∂/∂ понимают как ∂2/∂ ∂ , а
умножение на означает, что берутся соответствующие производные функции .
Дифференциалы третьего и более высоких порядков вводятся по индукции. Если все частные производные функции до порядка − 1 включительно дифференцируемы в некоторой точке, то в этой точке по определению полагают
:= ( −1 ), | = 2, 3, . . . , |
и функцию называют раз дифференцируемой. Если при этом все частные производные до порядка включительно непрерывны в точке или в области, то функцию называют раз непрерывно дифференцируемой соответственно в точке или области.
Вывод формул для дифференциалов третьего и более высоких порядков проводится аналогично тому, как это делалось для дифференциалов второго порядка. Естественно, что формулы при этом усложняются, если переменные не являются независимыми.
Если же переменные независимы и производные непрерывны, то
|
|
| ∂ |
|
| = ( |
| ∂ |
| |
= 1=1 | · · · |
| 1 | . . . | =1 | . | ||||
=1 ∂ 1 . . . ∂ | ∂ ) | |||||||||
∑ |
| ∑ |
|
|
|
| ∑ |
|
|
|
§ 12.6. Формула Тейлора
Как и для функций одной переменной, формула Тейлора для функций многих переменных да¨ет с точностью до определенных остаточных членов представление функции в виде многочлена, который называют многочленом Тейлора.
Пусть функция (x) дифференцируема раз в некоторой области пространства E , содержащей отрезок, соединяющий точки x0 и x.
Рассмотрим след функции на этом отрезке, т.е. функцию
( ) := (x0 + (x − x0)) = |
|
= ( 10 + ( 1 − 10), . . . , 0 + ( − 0 )), | [0, 1]. |
- § 8.2. Методы интегрирования
- § 9.1. Определение интеграла Римана
- § 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов
- § 9.7. Теоремы о среднем
- § 9.9. Приближённое вычисление интегралов
- § 9.11. Задачи и упражнения
- Глава 10. Интеграл Римана–Стилтьеса
- § 10.1. Функции ограниченной вариации
- § 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса
- § 10.4. Задачи и упражнения
- § 11.3. Пределы функций многих переменных
- § 11.4. Непрерывные функции многих переменных
- § 11.5. Задачи и упражнения
- § 12.6. Формула Тейлора
- Глава 14. Экстремумы функций многих переменных
- § 14.1. Локальные экстремумы
- § 14.2. Условный локальный экстремум
- § 14.3. Метод неопределённых множителей Лагранжа