Учебн

6.5.Вероятность события

В эмпирических распределениях бросается в глаза одна важная особенность - преимущественное накапливание вариант в центральных классах и постепенное убывание их числа по мере удаления от средней арифметической вариационного ряда.(см.рис.6.1) Эта особенность, составляющая одну из характерных черт варьирования различных признаков имеет широкое распространение в природе. Известно, что среди населения чаще встречаются люди среднего роста, а индивиды очень большого или очень малого роста встречаются довольно редко.

Впервые на это явление обратил внимание бельгийский статистик А.Кетле (1835), исследовавший распределение нескольких тысяч солдат американской армии по росту «…Человеческий рост, - писал он, - изменяющийся, по-видимому, самым случайным образом, тем не менее подчиняется самым точным законам, и эта особенность свойственна не только росту; она проявляется также и в весе.

Таблица 6.8.Частота изменения размеров стержня.

Длина стержня в мм (варианты)	Сколько раз эта длина встретилась в опыте (частоты)
999,6	1
999,7	3
999,8	8
999,9	17
1000,0	22
1000,1	17
1000,2	8
1000,3	3
1000,4	1
Всего испытаний	80

Из этой таблицы видно, что погрешности, допущенные при 80-кратном измерении одного и того же предмета, распределяются строго закономерно, образуя правильный, симметричный ряд. Конечно, не во всяком случае при измерении тех или иных предметов получаются столь отчетливые результаты. Но для нас главное не в этом, а в том, что в разных случаях наблюдений обнаруживается одна и та же общая закономерность. Однако, прежде, чем перейти к детальному рассмотрению этой закономерности, полезно ознакомиться с некоторыми понятиями теории вероятностей.

Из жизненного опыта возникли представления о случайных и неслучайных явлениях, которые на языке теории вероятностей принято называть событиями. Событие называется достоверным, если при заданных условиях оно обязательно наступит. В противном случае, когда событие заведомо не осуществится, оно называется недостоверным. Если же в заданных условиях событие может и наступить и не наступить, оно называется возможным, или случайным событием.

Понятие случайности относится к такому событию, которое с полной необходимостью не вытекает из данных конкретных условий, а определяется по закону случая, т.е. в зависимости от целого ряда непредвиденных и не учитываемых обстоятельств. Так, например, если в урну поместить белые и черные шары и затем наугад вынуть один шар, то заранее нельзя сказать какой это будет шар – белый или черный. В таких случаях обычно говорят о вероятности появления одного или другого из возможных событий.

Для того, чтобы иметь точную количественную меру ожидаемого события, позволяющую исследовать свойства массовых случайных явлений, водится математическое выражение вероятности как отношение числа случаев (m), «благоприятствующих» появлению ожидаемого события (А), к общему числу (n) всех возможных и несовместных испытаний (т.е. опытов, проб, тиражей, наблюдений):

(6.12.)

Символ Р(А) обозначает вероятность события А. «Благоприятствующими» называются такие возможности, которые приводят к осуществлению ожидаемого события. Например, при подбрасывании игрального кубика, на шести сторонах которого имеются цифры 1,2,3,4,5,5,6 появлению нечетных чисел «благоприятствуют» только три возможных случая 1,3 и 5.

Вероятность – это количественная мера уверенности, с какой можно ожидать наступления данного события. Например, в урне имеется 5 белых и 10 черных шаров. Вынимается наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым. Так как из общего числа 15 шаров в урне имеется 5 белых, то из 15 возможных исходов всего лишь 5 «благоприятствуют» ожидаемому событию, т.е. появлению белого шара. Откуда искомая вероятность

(6.13)

Это значит, что из каждых трех вынутых из урны шаров один может оказаться белым. В то же время вероятность появления черного шара при однократном опыте будет:

Очевидно, что: 1) вероятность любого события есть число, заключенное между нулем и единицей, т.е. она всегда выражается в долях единицы, хотя может быть выражена и в процентах; 2) вероятность достоверного события равна единице; 3) вероятность недостоверного события равна нулю; 4) вероятность противоположного события дополняет вероятность прямого события (А) до единицы, т.е.

(6.14)

Для удобства вероятность прямого события принято обозначать через р, а вероятность противоположного события – через q:

т.к

. р+q=1, (6.15.)

. то

р = 1-q (6.16.)

6.6. Распределение случайной величины

Все, что может быть измерено или исчислено в природе, называют величиной постоянной или переменной. В зависимости от обстоятельств эти величины могут принимать разные значения. Переменную величину считают определенной, если заранее, до опыта можно указать ее значение. Если же в одних и тех же условиях переменная величина может принимать разные значения, которые заранее указать нельзя, она называется случайной величиной.

Случайная величина не хаотична, а вполне закономерна: варианты распределяются по классам вариационного ряда не как попало, а в зависимости от их величины.(см.рис.6.1.) Чем ближе варианты к средней арифметической, тем чаще она встречается, и наоборот, тем больше уклоняются варианты от средней арифметической, тем реже они встречаются в генеральной совокупности. Иными словами, частота отклонения отдельных вариант от средней арифметической данной совокупности есть функция их величины. Вероятность частоты той или иной варианты в генеральной совокупности и определяется этой функцией.

Графически закономерность распределения случайных величин идеально выражается симметричной и плавной кривой, называемой кривой нормального распределения, или просто нормальной кривой (рис. 6.2) и описывается уравнением следующего вида

(6.17)

Р_х– плотность вероятности распределения

е - основание натуральных логорифмов

- среднеквадратичные отклонения

π =3,14526:

хì ; х - исследуемая величина,

ì i - тое и среднее значение

-x 0 +x

Рис.6.2. Плотность вероятности нормального распределения

Плотность вероятности распределения, это расположение ртрезков кривой на любом расстоянии от оси 0р ,где х=0,от оси 0р, х принимает положительные значения, влево – отрицательные. характеризует амплитуду колебания отдельных значений случайной величины около средней арифметической; () – отклонение варианты от средней арифметической; выражение-максимальная ордината, соответствующая точке ; по мере удаления от этой точки, т.е. центра распределения плотность значений случайной величины падает и кривая асимптотически приближается к оси абцисс, величина=,есть ни что иное , как нормированное отклонение(см. формулу 6.11.)

Приведенная на рисунке кривая носит название Гауссовского распределения или нормального закона. Нормальному закону распределения подчиняется большинство закономерностей.

Нормальное распределение характеризуется своими параметрами, значения которых рассчитываются по следующим зависимостям:

Среднее значение

. (6.18)

среднеквадратическое отклонение

(6.19)

Параметры нормального распределения идентичны со значениями средней арифметической и средне квадратичным отклонением (формулы 3.3. и 6.7.). Следовательно, среднее арифметическое и и среднее квадратическое отклонение определены для случая подчинения распределения вероятности исследуемой величины нормальному закону распределения.

Нормальному закону распределения подчиняется большинство технических, экономических и демографических процессов.

Кроме нормального распределения случайных величин известны еще 16 законов распределения: логарифмически-нормальный, экспотенциальный и др.(см. приложение 1)

Логарифмически-нормальный закон распределения случайной величины возникает под действием большого количества факторов. По логарифмически-нормальному закону подчиняется заработная плата работников предприятия, среднегодовой доход семей административной единицы, долговечность изделия. Плотность распределения рассчитывается по формуле:

(6.20)

Параметры распределения

а=х_mod(6.21)

(6.22)

Содержание