36) Производная неявной функции
о многих задачах функция y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций невозможно получить зависимость y(x) в явном виде. Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом: Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров. Пример 1 Продифференцировать функцию y(x), заданную уравнением . Решение. Продифференцируем обе части уравнения по переменной x:
что приводит к результату
Пример 2 Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1. Решение. Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию): Если y = 1, то из исходного уравнения находим
Подставим в уравнение (1) значения x = −1 и y = 1. В результате получаем
Отсюда следует, что y' = 0 при y = 1. Пример 3 Дано уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2 с центром в начале координат и радиусом r. Найти производную y'(x).
Решение.
Продифференцируем по x обе части уравнения:
В данном случае мы можем получить и явное выражение для производной. Например, для верхней полуокружности, зависимость y(x) имеет явный вид . Отсюда находим, что производная равна Пример 4 Найти уравнение касательной к кривой x 4 + y 4 = 2 в точке (1;1). Решение.
Продифференцируем обе части уравнения кривой по x:
Тогда . В точке (1;1) соответственно находим, что y'(1) = −1. Следовательно, уравнение касательной в данной точке имеет вид
- 1) Понятие вектора,модуль,коллинеарность и компланарность векторов.Геометрическое и экономическое понятие
- 2) Действие над векторами.Правило параллелограмма и многоугольника
- 3) Координаты вектора,действие над ними,заданными координатам
- 4) Скалярное произведение вектора.Угол между векторами
- 5) Условие параллельности и перпендикулярности векторов
- 6 ) Уравнение прямой на плоскости
- 7) Уравнение прямой в пространстве
- 8) Взаимное расположение прямых,угол между ними.Условие параллельности и перпендикулярност
- 9) Уравнение плоскости,частные случаи общего уравнения плоскости
- 10) Угол между плоскостями.Условие параллельности и перпендикулярности
- 11) Определители и их свойства
- 12) Вычисление определителя
- 13) Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- 14) Метод Гаусса
- 15) Матрицы и действия над ними
- 16, 17)) Обратная матрица
- 19) Ранг матриц
- 20) Понятие функции
- 21) Область определения,четность,монотонность
- 22) Понятие предела,бесконечно малые величины и их свойства
- 23) Основные теоремы о пределах
- 24) Виды неопределенности
- 25) Первый замечательный предел
- 26) Второй замечательный предел
- 27) Задачи приводящие к понятию производной
- 28) Производная и ее смысл
- 29) Уравнение касательной
- 30) Основные правила дифференцирования
- 31) Производные тригонометрических функций
- 32) Производные обратных тригонометрических функцй
- 33) Производная логарифмической функции
- 34) Производная сложной функции
- 35) Производная степенной функции
- 36) Производная неявной функции
- 37) Производная высших порядков
- 38) Диф функции
- 39) Приложение дифференциала
- 40) Теорема Лагранджа
- 41) Теорема Роля
- 42) Правило Лопиталя
- 43) Теорема ферма
- 44) Монотонность функции на интервале
- 45) Условие существования экстренума
- 46) Выпуклость и вогнутость функции
- 47) Асимптоты графика функции
- 48) Исследование функции построение графика с помощью производной. Исследование функции с помощью производной
- 49) Исследование функции с помощью производной
- 31) Производные тригонометрических функций