27) Задачи приводящие к понятию производной

Для начала, обратимся к повсеместно употребляемому, общепринятому, бытующему уже почти три века, ставшему классическим, математическому понятию (определению) производной функции (дифференциала).Разъясняется это понятие во всех многочисленных учебниках одинаково и приблизительно так.Пусть величина u зависит от аргумента х как u=f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x₂, x_1,, то мы получаем величины u₁=f(x₁), и u₂=f(x₂). Разность двух значений аргумента x₂, x₁ назовём приращением аргумента и обозначим как Δx=x₂-x₁ (следовательно, x₂=x₁+Δx). Если аргумент изменился на Δx=x₂-x_1, , то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции u₁=f(x₁), u₂=f(x₂) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так:Δf=u₁-u₂=f(x₂)-f(x₁) . Или с учётом что x₂=x₁+Δx, можно записать, что изменение функции равно Δf= f(x₁+Δx)-f(x₁). И это изменение произошло, естественно, на области возможных значений функции x₂ и x_1,.Считается, что если величины x₂ и x_1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δx=x₂-x_1, - бесконечно мало.Определение производной: Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.Lim_Δx→0 (Δf(x₀)/Δx)=lim_Δx→0 ((f(x+Δx)-f(x₀))/Δx)=f`(x₀)Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.