35) Производная степенной функции

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова: (xⁿ)’=nx^n-1 (1)Формула производной функции х² уже известна: (х²)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем: (x³)’=( x²⋅x)’= (x²)’x+ x²(x)’= 2x⋅x + x²⋅1=3 x²;(x⁴)’=( x³⋅x)’= (x³)’x+ x³(x)’= 3x²⋅x+ x³⋅1=4x³.Заметим теперь, что (x²)’=2x^2-1, (x³)’=3x^3-1, (x⁴)’=4x^4-1, т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д. Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4. Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что (x^k)’=kx^k-1.Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно, (x^k+1)’=(x^k⋅x)’=( x^k)’⋅x + x^k⋅(x)’= kx^k-1⋅x + x^k = (k+1) x^kПоэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции). Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0 (x¹)’=1⋅x^1-1 = 1⋅x⁰ =1,(x⁰)’=0⋅x^0-1 = 0,что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта. Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0: В результате можно сделать вывод: Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1) (xⁿ)'=nx^n-1Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференциремы в каждой точке своей области определения.