4) Скалярное произведение вектора.Угол между векторами

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.Скалярным произведением в линейном пространстве называется функция , принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство [линейность скалярного произведения по первому аргументу];2. для любых и справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение [эрмитова симметричность];3. для любого имеем , причем только при [положительная определенность скалярного произведения].Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.Заметим, что из п.2 определения следует, что действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними: Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение). A • B = |A| |B| cos(θ)