34) Производная сложной функции

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что при Δx→0. Введем обозначения: Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= ΔfТогда Δh = h(х₀ + Δх) - h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) - g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) - g(y₀) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.