22) Понятие предела,бесконечно малые величины и их свойства

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x > a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x > a. Введем строгое определение предела функции.Функция y=f(x) стремится к пределу b при x > a, если для каждого положительного числа е, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число д, что при всех x ? a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < д, имеет место неравенство |f(x) - b| < е. Если b есть предел функции f(x) при x > a, то пишут или f(x) > b при x > a.Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < д должно следовать неравенство |f(x) - b| < е, т.е. при x ? (a - д, a + д) соответствующие значения функции f(x) ? (b - е, b + е), то, взяв произвольное е > 0, мы можем подобрать такое число д, что для всех точек x, лежащих в д - окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2е, ограниченной прямыми y = b - е и y = b + е.Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x > a функция имеет предел, то он единственный.Примеры.Найти предел функции y=2x+1 при x > 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x > 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число е > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) - 3|<е или |2x-2| < е, откуда |x- 1| < е. Таким образом, если положить д = е/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x- 1|<д, будет выполняться неравенство |y - 3| < е. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y=2x+1 при x > 1. Найти предел функции y=e^x+1 при x > 0. Используя график заданной функции, несложно заметить, .Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.Бесконечно мала Последовательность a_n называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел  — бесконечно малая.Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если .Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .