Дифференциальные уравнения
Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где - функция, определенная в некоторой области пространства , - независимая переменная, - функция от , - ее производные.
Определение: Порядком уравнения n называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.
Определение: Функция называется решением дифференциального уравнения на промежутке , если для всех из выполняется равенство: . Дифференциальному уравнению удовлетворяет бесконечное множество функций, но при некоторых условиях решение такого уравнения единственное.
Определение: Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.
Пример 1: Решить уравнение . Его решение:
определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.
рис.1 |
|
Таким образом, серия графиков получена параллельным переносом на константу С.
рис.2
- Ряды. Дифференциальные уравнения.
- Критерий Коши сходимости ряда.
- Следствие 1
- Следствие 2
- Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. Признаки сравнения.
- 2) Предельный
- Признак Даламбера.
- Доказательство:
- Признак Коши (радикальный).
- Доказательство:
- Признак сравнения 3.
- Признак Куммера.
- Признак Гауса. (без доказательства)
- Интегральный признак. (Коши-Маклорена)
- Знакопеременные ряды
- Признак Лейбница.
- Функциональные ряды
- Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда.
- Признак равномерной сходимости.
- 1) Признак Вейерштрасса (мажорантный признак)
- 2) Признак Абеля – Дирихле.
- Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
- Теорема об интегрировании функционального ряда.
- Дифференцирование функциональных рядов
- Доказательство (на основании теоремы об интегрировании функционального ряда):
- Степенные ряды
- Ряды Тейлора
- Ряды Тейлора для основных элементарных функций
- Тригонометрические ряды Фурье
- Дифференциальные уравнения
- Пример 2:
- Пример 3:
- Пример 4:
- Пример 5:
- Пример 7:
- Основные тины дифференциальных уравнений
- Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
- Пример:
- Дифференциальное уравнение n-ного порядка
- Линейные дифференциальные уравнения
- Линейная зависимость функций
- Определитель Вронского.
- Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
- Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
- Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка
- Метод вариации постоянных
- Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
- Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами