Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Такие уравнения в общем виде могут быть представлены как:

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя, получаем:

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение

Пример:

Замена: y = UV

Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу: Подставим в исходное уравнение:

Следовательно,

Этот метод применим и для нелинейного уравнения: , где к– константа

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.

Пример:

Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени i(t).

L – индуктивность, R – сопротивление

Сделаем замену переменных: и подставим

Где: α=

Всегда можно ввести ω₀ (собственная частота):

При больших t стремится к нулю

Уравнение Клеро: . Вводя параметр , получаем . или . Тогда, если , то и – это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если же , то . Тогда – особое решение (проверяется подстановкой в исходное уравнение) .