logo
makaroff_3sem_2004

Пример 5:

см. рис.5 (через каждую точку на оси Ох проходит два решения (две интегральные кривые): частное и особое).

Рис.5

Можно построить интегральную кривую в каждой точке, используя понятие о геометрическом смысле производной: tgα = f(x,y) (рис.6). Таким образом задают поле направлений, т.е. задают прямую в каждой точке, а потом проводят кривую касательную ко всем прямым в этих точках и получают интегральную кривую (одно из решений).

рис.6

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения y’=f(x ,y)):

Пусть - непрерывная функция (рис.7) в области , причем - также непрерывна в . Тогда существует единственное решение y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y) с начальным условием y(x0)=y0, (x0,y0) принадлежит D. Следовательно, через точку проходит только одна интегральная кривая.

Рис.7

(без доказательства).

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4