Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему

, где - произвольные постоянные

Решение представляет собой систему

, где A – матрица из коэффициентов системы.

Введем невырожденную матрицу B замены

, где

Пусть ₁, ₂ – собственные значения матрицы A. Тогда можно найти такую матрицу B, что

Матрица A₁ запишется в виде , где – собственные значения характеристического многочлена матрицы A (собственные числа):

Тогда:

=> => ;

, где и - собственные векторы матрицы A.

Пример:

Собственные числа матрицы A:

Нетрудно найти, что

Общее решение системы уравнений:

Пример 2: Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.

(1)

, матрица примет вид .

, другое решение нужно искать в виде:

(1’) , где a,b,c,d – неопределенные коэффициенты.

Найдем их, продифференцировав уравнения системы (1’) и подставив выражения для в уравнение (1)

Разделив на оба уравнения, получим систему, связывающую неизвестные коэффициенты:

, отсюда (система вырожденная).

Положим .

.

Проверим систему на линейную зависимость.

Таким образом, общий вид решения:

В случае кратных корней одно решение находится сразу, второе – методом неопределенных коэффициентов.

Пример3: Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющих комплексно-сопряженные корни.

Общее решение:

Рассмотрим еще один пример, который иллюстрирует решение системы трех линейных дифференциальных уравнений.

Даны две последовательные химические реакции и . Скорость каждой из реакций пропорциональна концентрации реагирующего вещества. Константы скорости реакций равны a и b.

Обозначим x,y,z концентрации веществ A,B и C соответственно.

Система уравнений примет вид:

собственный вектор .

собственный вектор находится из системы .

собственный вектор .

Константы С_1,С₂ и С₃ определяются из начальных концентраций веществ A,B и C.