Интегральный признак. (Коши-Маклорена)

Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при (начиная с некоторого x). Тогда ряд ~

Доказательство:

Лемма. Пусть A_n=a₁+…+a_n — частичная сумма.Тогда ряд сходится тогда, когда A_n<c c=const. Эта лемма верна, так как в этом случае получается монотонно убывающая и ограниченная последовательность.

Тогда , или . Поэтому если сходится, то

. Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное , выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Пример:

~ => ряд сходится при α>1, и расходится при α≤1.

Расходимость ряда n*ln(n)

=> ряд расходится.