Метод вариации постоянных

Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (2). Тогда, любое решение этого уравнения имеет вид: . Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение уравнения (1). По теореме *, любое решение этого уравнения имеет вид: (3). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение . Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде (4), где - фундаментальная система решений уравнения (2).

Тогда:

(домножаем и складываем уравнения.)

Пусть выражения в квадратных скобках равны нулю, кроме последней скобки, равной q. Тогда при сложении в первом столбце( и в последующих) получится ноль, но в последнем будет q(x).

Но это равенство выполняется только в случае выполнения принятой нами системы условий, т.е. если найдены функции С_k (x), удовлетворяющие этой системе условий(*), то функция y0 есть частное решение неоднородного уравнения.

Получили, таким образом, обычную систему (*) линейных уравнений, которая имеет единственное решение, если не равен нулю определитель системы, т.е. определитель Вронского. Для того, чтобы отыскать следует воспользоваться системой (*), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных с определителем .

≠0 Решения системы (*) можно найти по формулам Крамера.

интегрируем и находим искомые C₁,…,C_n.

Пример:

Вычтем одно уравнение из другого:

–частное решение неоднородного уравнения

–общее решение неоднородного уравнения.