Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Из доказанных выше теорем следует:

Теорема: Решения уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система его решений.

Доказательство: Пусть

Тогда определитель Вронского запишется так:

Система функций решений дифференциального уравнения

L(y) = 0 линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему решений:

Теорема: Пусть y(x) – любое решение дифференциального уравнения L(y) = 0 и Тогда

Доказательство: Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :

Теорема доказана.